Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2494
2019-03-28 
Найти все пары чисел $a$ и $b$, при которых для любых $x$ и $у$, удовлетворяющих условию $x+y = a$ (где $x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi, y \neq \frac{\pi}{2} + m\pi, n, m = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots$), верно равенство $tg x + tg y + tg x tg y = b$.
Решение:
Первый способ. Задача сводится к отысканию таких $а$ и $b$, при которых равенство
$tg x + tg (a - x) + tg x tg (a-x) = b$
является неабсолютным тождеством. Обозначив $tgx = z$ и $tg a = c$ (в предположении, что $a \neq \frac{ \pi}{2} (2n+1))$, получим
$z + \frac{c-z}{1+cz} + z \frac{c-z}{1+cz} = b$.
Перенеся всё в левую часть и приведя к общему знаменателю, получим в числителе выражение
$z^2 (c-1) + z (c- bc) + c - b$,
которое должно обращаться в нуль при бесконечном множестве различных значений $z$, что равносильно тождественному равенству нулю многочлена. Так как условием тождественного равенства многочлена нулю является равенство нулю всех его коэффициентов, то получаем $с = 1, b = 1$, т. е. $b - 1, а = \frac{ \pi}{4} + k \pi$. Убеждаемся, что при этом знаменатель $1+cz \neq 0$. Случай $a = \frac{ \pi}{2} (2n + 1)$ приводит к равенству $tg x + ctg x = b - 1$, которое не является тождеством.
Второй способ. Равенство
$tg x + tg (а - x) + tg x tg (а - x) = b$
должно выполняться тождественно по отношению к $x$. Положим $x = 0$ и $x = \frac{ \pi}{4}$. Получим систему, которой должны удовлетворять $а$ и $b$:
$tg a = b, tg \left (a - \frac{ \pi}{4} \right ) = \frac{ b-1}{2}$.
Заменив во втором уравнении $b = tg a$ и преобразовав левую часть, получим
$\frac{tg a - 1}{1 + tg a} = \frac{tg a - 1}{2}$,
откуда получим $tg a = 1$. Таким образом, $b = 1, a = \frac{ \pi}{4} + k \pi$. Проверкой убеждаемся, что при найденных значениях $а$ и $b$ написанное в начале решения равенство выполняется тождественно.
Ответ: $b = 1, а = \frac{\pi}{4} + k \pi$.
Найти все пары чисел $a$ и $b$, при которых для любых $x$ и $у$, удовлетворяющих условию $x+y = a$ (где $x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi, y \neq \frac{\pi}{2} + m\pi, n, m = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots$), верно равенство $tg x + tg y + tg x tg y = b$.
Решение:
Первый способ. Задача сводится к отысканию таких $а$ и $b$, при которых равенство
$tg x + tg (a - x) + tg x tg (a-x) = b$
является неабсолютным тождеством. Обозначив $tgx = z$ и $tg a = c$ (в предположении, что $a \neq \frac{ \pi}{2} (2n+1))$, получим
$z + \frac{c-z}{1+cz} + z \frac{c-z}{1+cz} = b$.
Перенеся всё в левую часть и приведя к общему знаменателю, получим в числителе выражение
$z^2 (c-1) + z (c- bc) + c - b$,
которое должно обращаться в нуль при бесконечном множестве различных значений $z$, что равносильно тождественному равенству нулю многочлена. Так как условием тождественного равенства многочлена нулю является равенство нулю всех его коэффициентов, то получаем $с = 1, b = 1$, т. е. $b - 1, а = \frac{ \pi}{4} + k \pi$. Убеждаемся, что при этом знаменатель $1+cz \neq 0$. Случай $a = \frac{ \pi}{2} (2n + 1)$ приводит к равенству $tg x + ctg x = b - 1$, которое не является тождеством.
Второй способ. Равенство
$tg x + tg (а - x) + tg x tg (а - x) = b$
должно выполняться тождественно по отношению к $x$. Положим $x = 0$ и $x = \frac{ \pi}{4}$. Получим систему, которой должны удовлетворять $а$ и $b$:
$tg a = b, tg \left (a - \frac{ \pi}{4} \right ) = \frac{ b-1}{2}$.
Заменив во втором уравнении $b = tg a$ и преобразовав левую часть, получим
$\frac{tg a - 1}{1 + tg a} = \frac{tg a - 1}{2}$,
откуда получим $tg a = 1$. Таким образом, $b = 1, a = \frac{ \pi}{4} + k \pi$. Проверкой убеждаемся, что при найденных значениях $а$ и $b$ написанное в начале решения равенство выполняется тождественно.
Ответ: $b = 1, а = \frac{\pi}{4} + k \pi$.
