Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2493
2019-03-28 
Решить уравнение
$\cos x + \cos y - \cos (x+y) = \frac{3}{2}$.
Решение:
Первый способ. Преобразовав данное уравнение к функциям от $\frac{x+y}{2}$ и $\frac{x-y}{2}$ и дополнив полученное таким образом выражение до полного квадрата, придем к уравнению вида
$\left (2 \cos \frac{x+y}{2} - \cos \frac{x-y}{2} \right )^2 + \sin^2 \frac{x-y}{2} = 0$.
Это уравнение эквивалентно системе
$\begin{cases} 2 \cos \frac{x+y}{2} - \cos \frac{x-y}{2} = 0 \\ \sin \frac{x-y}{2} = 0 \end{cases}$
Решая второе уравнение системы, найдем
$\frac{x-y}{2} = n \pi$,
откуда $x-y = 2 n \pi$, а $x = y + 2n \pi$.
Подставляя найденное выражение для $x$ в первое уравнение, получим
$2\cos (y + n \pi) - \cos n \pi = 0$.
Число $n$ может быть либо четным, либо нечетным. Если $n = 2k$, то уравнение примет вид
$2 \cos y - 1 = 0$,
откуда $\cos y = \frac{1}{2}$.
Если $n = 2k +1$, то уравнение запишется так:
$- 2 \cos y = \frac{1}{2}$,
откуда снова $\cos y = \frac{1}{2}$.
Таким образом,
$y = 2 \pi m \pm \frac{ \pi}{3}$,
а $х = у + 2 \pi (n+m) \pm \frac{ \pi}{3}$. B этом случае $n+m$ можно рассматривать как новое целочисленное переменное и записать ответ следующим образом:
$\begin{cases} x = 2 \pi n \pm \frac{ \pi}{3} \\ y = 2 \pi m \pm \frac{ \pi}{3} \end{cases}$.
Второй способ. Преобразовав уравнение к виду $A \cos y = B \sin y = \frac{3}{2} - \cos x$, где $A = 1 - \cos x, B = \sin x$ (причем $A$ и $B$ не равны нулю одновременно), оценим его левую часть
$A \cos y + B \sin у = \sqrt {A^2 + B^2} \left (\frac {A}{\sqrt {A^2 + B^2}} \cos y + \frac {B}{\sqrt {A^2 + B^2}} \sin y \right ) \leq \sqrt {A^2 + B^2} = \sqrt {(1- \cos x)^2 + \sin^2 x}$.
Чтобы данное уравнение имело решение, необходимо
$(1 - \cos x)^2 + \sin^2 x \geq \left ( \frac{3}{2} - \cos x \right )^2$.
Раскрыв скобки, получим
$\cos^2 x - \cos x + \frac{1}{4} \leq 0$,
т. е. $\left (\cos x - \frac{1}{2} \right )^2 \leq 0$. Так как квадрат некоторого выражения не может быть отрицательным, то
$\cos x = \frac{1}{2}$,
откуда $x = 2 n \pi \pm \frac{\pi}{3}$.
Чтобы найти $y$, можно подставить найденные значения $x$ в исходное уравнение. Однако достаточно заметить, что исходное уравнение симметрично относительно $x$ и $у$. Следовательно, для второго неизвестного мы тоже получим
$y = 2 m \pi \pm \frac{\pi}{3}$.
Остается установить соответствие между найденными значениями $x$ и $у$, что легко сделать проверкой, так как здесь нужно рассмотреть всего четыре различные возможности. Убеждаемся, что из четырех возможностей уравнению удовлетворяют только две, когда для $x$ и $y$ выбраны одинаковые знаки.
Ответ. $x = 2 n \pi \pm \frac{\pi}{3}, y = 2 m \pi \pm \frac{\pi}{3}$, где берутся либо только верхние, либо только нижние знаки.
Решить уравнение
$\cos x + \cos y - \cos (x+y) = \frac{3}{2}$.
Решение:
Первый способ. Преобразовав данное уравнение к функциям от $\frac{x+y}{2}$ и $\frac{x-y}{2}$ и дополнив полученное таким образом выражение до полного квадрата, придем к уравнению вида
$\left (2 \cos \frac{x+y}{2} - \cos \frac{x-y}{2} \right )^2 + \sin^2 \frac{x-y}{2} = 0$.
Это уравнение эквивалентно системе
$\begin{cases} 2 \cos \frac{x+y}{2} - \cos \frac{x-y}{2} = 0 \\ \sin \frac{x-y}{2} = 0 \end{cases}$
Решая второе уравнение системы, найдем
$\frac{x-y}{2} = n \pi$,
откуда $x-y = 2 n \pi$, а $x = y + 2n \pi$.
Подставляя найденное выражение для $x$ в первое уравнение, получим
$2\cos (y + n \pi) - \cos n \pi = 0$.
Число $n$ может быть либо четным, либо нечетным. Если $n = 2k$, то уравнение примет вид
$2 \cos y - 1 = 0$,
откуда $\cos y = \frac{1}{2}$.
Если $n = 2k +1$, то уравнение запишется так:
$- 2 \cos y = \frac{1}{2}$,
откуда снова $\cos y = \frac{1}{2}$.
Таким образом,
$y = 2 \pi m \pm \frac{ \pi}{3}$,
а $х = у + 2 \pi (n+m) \pm \frac{ \pi}{3}$. B этом случае $n+m$ можно рассматривать как новое целочисленное переменное и записать ответ следующим образом:
$\begin{cases} x = 2 \pi n \pm \frac{ \pi}{3} \\ y = 2 \pi m \pm \frac{ \pi}{3} \end{cases}$.
Второй способ. Преобразовав уравнение к виду $A \cos y = B \sin y = \frac{3}{2} - \cos x$, где $A = 1 - \cos x, B = \sin x$ (причем $A$ и $B$ не равны нулю одновременно), оценим его левую часть
$A \cos y + B \sin у = \sqrt {A^2 + B^2} \left (\frac {A}{\sqrt {A^2 + B^2}} \cos y + \frac {B}{\sqrt {A^2 + B^2}} \sin y \right ) \leq \sqrt {A^2 + B^2} = \sqrt {(1- \cos x)^2 + \sin^2 x}$.
Чтобы данное уравнение имело решение, необходимо
$(1 - \cos x)^2 + \sin^2 x \geq \left ( \frac{3}{2} - \cos x \right )^2$.
Раскрыв скобки, получим
$\cos^2 x - \cos x + \frac{1}{4} \leq 0$,
т. е. $\left (\cos x - \frac{1}{2} \right )^2 \leq 0$. Так как квадрат некоторого выражения не может быть отрицательным, то
$\cos x = \frac{1}{2}$,
откуда $x = 2 n \pi \pm \frac{\pi}{3}$.
Чтобы найти $y$, можно подставить найденные значения $x$ в исходное уравнение. Однако достаточно заметить, что исходное уравнение симметрично относительно $x$ и $у$. Следовательно, для второго неизвестного мы тоже получим
$y = 2 m \pi \pm \frac{\pi}{3}$.
Остается установить соответствие между найденными значениями $x$ и $у$, что легко сделать проверкой, так как здесь нужно рассмотреть всего четыре различные возможности. Убеждаемся, что из четырех возможностей уравнению удовлетворяют только две, когда для $x$ и $y$ выбраны одинаковые знаки.
Ответ. $x = 2 n \pi \pm \frac{\pi}{3}, y = 2 m \pi \pm \frac{\pi}{3}$, где берутся либо только верхние, либо только нижние знаки.
