Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2492
2019-03-28 
Решить уравнение
$\sin^ x + \frac{1}{4} \sin^2 3x = \sin x \sin^2 3x$.
Решение:
Первый способ. Умножив $\sin^2$ на $\sin^2 3x + \cos^2 3x = 1$ и сгруппировав члены, содержащие $\sin^2 3x$, получим
$\sin^2 x \cos^2 3x + \sin^2 3x \left (\sin^2 x - \sin x + \frac{1}{4} \right ) = 0$
или
$\sin^2 x \cos^2 3x + \sin^2 3x \left ( \sin x - \frac{1}{2} \right )^2 = 0$.
Последнее уравнение эквивалентно системе
$\begin{cases} \sin x \cos 3x = 0 \\ \sin 3x \left (\sin x - \frac{1}{2} \right ) = 0 \end{cases}$.
Корни первого уравнения найти нетрудно:
$x_1 = n \pi, x_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{ n\pi}{3}$.
Подставляя $x_1$ во второе уравнение, убеждаемся, что оно удовлетворяется при этих значениях неизвестного. Подставляя во второе уравнение $x_2$, получим
$\sin \left ( \frac{\pi}{2} + n \pi \right ) \left [ \sin \left ( \frac{\pi}{6} + \frac{n \pi}{3} \right ) - \frac{1}{2} \right ] = 0$.
Так как первый сомножитель никогда не обращается в нуль, то последнее равенство можно записать так:
$\sin \left ( \frac{\pi}{6} + \frac{ n \pi}{3} \right ) = \sin \frac{ \pi}{6}$.
Воспользовавшись условием равенства синусов (если $\sin \alpha = \sin \beta$, то либо $\alpha - \beta = 2 k \pi$ либо $\alpha + \beta = (2k + 1) \pi$, получим
$\frac{ \pi}{3} + \frac{ n \pi}{3} = (2 k + 1) \pi$, откуда $n = 6k + 2$,
и
$\frac{n \pi}{3} = 2 k \pi$, откуда $n = 6k$.
Таким образом,
$x_1 = n \pi, x_2 = \frac{ \pi}{6} + 2k \pi, x_3 = \frac{ 5 \pi}{6} + 2 k \pi$.
Второй способ. Перепишем уравнение в виде
$4 \sin^2 x - 4 \sin x \sin^2 3x + \sin^2 3x = 0$,
т.е.
$(2 \sin x - \sin^2 3x)^2 + (\sin^2 3x - \sin^4 3x) = 0$.
Так как оба слагаемых неотрицательны, то
$\begin{cases} 2 \sin x = \sin^2 3x \\ \sin^2 3x = |\sin 3x| \end{cases}$.
Из второго уравнения получим: либо $\sin 3x = 0$ и $x = \frac{ \pi n}{3}$, либо $|\sin 3x| = 1$ и $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$. Остается отобрать из этих решений те, которые удовлетворяют первому уравнению, что делается так же, как и в первом способе решения.
Ответ. $n \pi; \frac{\pi}{6} + 2k \pi; \frac{ 5 \pi}{6} + 2 k \pi$.
Решить уравнение
$\sin^ x + \frac{1}{4} \sin^2 3x = \sin x \sin^2 3x$.
Решение:
Первый способ. Умножив $\sin^2$ на $\sin^2 3x + \cos^2 3x = 1$ и сгруппировав члены, содержащие $\sin^2 3x$, получим
$\sin^2 x \cos^2 3x + \sin^2 3x \left (\sin^2 x - \sin x + \frac{1}{4} \right ) = 0$
или
$\sin^2 x \cos^2 3x + \sin^2 3x \left ( \sin x - \frac{1}{2} \right )^2 = 0$.
Последнее уравнение эквивалентно системе
$\begin{cases} \sin x \cos 3x = 0 \\ \sin 3x \left (\sin x - \frac{1}{2} \right ) = 0 \end{cases}$.
Корни первого уравнения найти нетрудно:
$x_1 = n \pi, x_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{ n\pi}{3}$.
Подставляя $x_1$ во второе уравнение, убеждаемся, что оно удовлетворяется при этих значениях неизвестного. Подставляя во второе уравнение $x_2$, получим
$\sin \left ( \frac{\pi}{2} + n \pi \right ) \left [ \sin \left ( \frac{\pi}{6} + \frac{n \pi}{3} \right ) - \frac{1}{2} \right ] = 0$.
Так как первый сомножитель никогда не обращается в нуль, то последнее равенство можно записать так:
$\sin \left ( \frac{\pi}{6} + \frac{ n \pi}{3} \right ) = \sin \frac{ \pi}{6}$.
Воспользовавшись условием равенства синусов (если $\sin \alpha = \sin \beta$, то либо $\alpha - \beta = 2 k \pi$ либо $\alpha + \beta = (2k + 1) \pi$, получим
$\frac{ \pi}{3} + \frac{ n \pi}{3} = (2 k + 1) \pi$, откуда $n = 6k + 2$,
и
$\frac{n \pi}{3} = 2 k \pi$, откуда $n = 6k$.
Таким образом,
$x_1 = n \pi, x_2 = \frac{ \pi}{6} + 2k \pi, x_3 = \frac{ 5 \pi}{6} + 2 k \pi$.
Второй способ. Перепишем уравнение в виде
$4 \sin^2 x - 4 \sin x \sin^2 3x + \sin^2 3x = 0$,
т.е.
$(2 \sin x - \sin^2 3x)^2 + (\sin^2 3x - \sin^4 3x) = 0$.
Так как оба слагаемых неотрицательны, то
$\begin{cases} 2 \sin x = \sin^2 3x \\ \sin^2 3x = |\sin 3x| \end{cases}$.
Из второго уравнения получим: либо $\sin 3x = 0$ и $x = \frac{ \pi n}{3}$, либо $|\sin 3x| = 1$ и $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$. Остается отобрать из этих решений те, которые удовлетворяют первому уравнению, что делается так же, как и в первом способе решения.
Ответ. $n \pi; \frac{\pi}{6} + 2k \pi; \frac{ 5 \pi}{6} + 2 k \pi$.
