Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2490
2019-03-28 
Решить систему:
$\begin{cases} \sin \left (x - \frac{ \pi}{4} \right ) \cos \left (y - \frac{ \pi}{4} \right ) = a \\ k + y = 2 arcsin \left (a + \frac{1}{2} \right ) \end{cases}$.
Решение:
Первое уравнение перепишем в виде
$\sin (x - у) - \cos (x+y) = 2a$.
Из второго найдем
$\cos (x+y) = \cos \left [2 \arcsin \left (a + \frac{1}{2} \right ) \right ] = 1 - 2 \sin^2 \left [ \arcsin \left (a + \frac{1}{2} \right ) \right ] = 1 - 2 \left ( a + \frac{1}{2} \right )^2 = \frac{1}{2} - 2a^3 - 2a$.
Следовательно,
$\sin (x-y) = 2a + \cos (x+y) = \frac{1}{2} - 2a^2 = \frac {1-4a^2}{2}$.
Прежде чем решать систему
$\begin{cases} x+y = 2 \arcsin \left ( a + \frac{1}{2} \right ) \\ \sin (x-y) = \frac {1-4a^2}{2} \end{cases}$,
выясним, при каких $а$ она имеет решение.
Первоначальная система накладывает на параметр $а$ такие ограничения: $|a| \leq 1, \left | a + \frac{1}{2} \right | \ leq 1$, где первое - следствие того, что в левой части первого уравнения стоит произведение синуса и косинуса, а второе - следствие определения арксинуса.
Поскольку при преобразованиях исходной системы равносильность не нарушалась, то нет необходимости учитывать первоначальные ограничения, так как они будут содержаться в ограничениях системы (1):
$\begin{cases} \left | a + \frac{1}{2} \right | \leq 1 \\ \frac {|1-4a^2|}{2} \leq 1 \end{cases}$, т.е. $- \frac{ \sqrt {3}}{2} \leq a \leq \frac{1}{2}$.
Итак, если параметр $а$ лежит на интервале $- \frac{ \sqrt {3}}{2} \leq a \leq \frac{1}{2}$, то систему (1) можно переписать в виде
$\begin{cases} x+y = 2 \arcsin \left ( a + \frac{1}{2} \right ) \\ x - y = n \pi + (-1)^n \arcsin \frac {1-4a^2}{2} \end{cases}$.
Решая эту систему, найдем $х$ и $у$. Остается сделать проверку.
Ответ. При $- \frac{ \sqrt {3}}{2} \leq a \leq \frac{1}{2}$
$x = \frac{n \pi}{2} + (-1)^n \frac{1}{2} \arcsin \frac {1-4a^2}{2} + \arcsin \left (a + \frac{1}{2} \right )$,
$y = - \frac{n \pi}{2} + (-1)^{n+1} \frac{1}{2} \arcsin \frac {1-4a^2}{2} + \arcsin \left (a + \frac{1}{2} \right )$.
Решить систему:
$\begin{cases} \sin \left (x - \frac{ \pi}{4} \right ) \cos \left (y - \frac{ \pi}{4} \right ) = a \\ k + y = 2 arcsin \left (a + \frac{1}{2} \right ) \end{cases}$.
Решение:
Первое уравнение перепишем в виде
$\sin (x - у) - \cos (x+y) = 2a$.
Из второго найдем
$\cos (x+y) = \cos \left [2 \arcsin \left (a + \frac{1}{2} \right ) \right ] = 1 - 2 \sin^2 \left [ \arcsin \left (a + \frac{1}{2} \right ) \right ] = 1 - 2 \left ( a + \frac{1}{2} \right )^2 = \frac{1}{2} - 2a^3 - 2a$.
Следовательно,
$\sin (x-y) = 2a + \cos (x+y) = \frac{1}{2} - 2a^2 = \frac {1-4a^2}{2}$.
Прежде чем решать систему
$\begin{cases} x+y = 2 \arcsin \left ( a + \frac{1}{2} \right ) \\ \sin (x-y) = \frac {1-4a^2}{2} \end{cases}$,
выясним, при каких $а$ она имеет решение.
Первоначальная система накладывает на параметр $а$ такие ограничения: $|a| \leq 1, \left | a + \frac{1}{2} \right | \ leq 1$, где первое - следствие того, что в левой части первого уравнения стоит произведение синуса и косинуса, а второе - следствие определения арксинуса.
Поскольку при преобразованиях исходной системы равносильность не нарушалась, то нет необходимости учитывать первоначальные ограничения, так как они будут содержаться в ограничениях системы (1):
$\begin{cases} \left | a + \frac{1}{2} \right | \leq 1 \\ \frac {|1-4a^2|}{2} \leq 1 \end{cases}$, т.е. $- \frac{ \sqrt {3}}{2} \leq a \leq \frac{1}{2}$.
Итак, если параметр $а$ лежит на интервале $- \frac{ \sqrt {3}}{2} \leq a \leq \frac{1}{2}$, то систему (1) можно переписать в виде
$\begin{cases} x+y = 2 \arcsin \left ( a + \frac{1}{2} \right ) \\ x - y = n \pi + (-1)^n \arcsin \frac {1-4a^2}{2} \end{cases}$.
Решая эту систему, найдем $х$ и $у$. Остается сделать проверку.
Ответ. При $- \frac{ \sqrt {3}}{2} \leq a \leq \frac{1}{2}$
$x = \frac{n \pi}{2} + (-1)^n \frac{1}{2} \arcsin \frac {1-4a^2}{2} + \arcsin \left (a + \frac{1}{2} \right )$,
$y = - \frac{n \pi}{2} + (-1)^{n+1} \frac{1}{2} \arcsin \frac {1-4a^2}{2} + \arcsin \left (a + \frac{1}{2} \right )$.
