Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 249
2014-06-07 
Доказать, что если множество на плоскости имеет более одного центра симметрии, то оно имеет их бесконечно много.
Решение:
Пусть множество М имеет два различных центра симметрии $O_{1}$ и $O_{2}$ Тогда точка $O_{3}$, симметричная точке $O_{1}$ относительно точен $O_{2}$, также является центром симметрии множества М. Действительно, если через $C_{O}(A)$ обозначить точку, симметричную точке А относительно точки О, то из симметричности точек А и $C_{O_{2}}(A)$, а также точек $O_{3}$ и $O_{1}$ относительно точки $O_{2}$ вытекает (рис.) симметричность точек $C_{O_{3}}(A)$ и $C_{O_{2}}(C_{O_{3}}(A))$ относительно той же точки $O_{3}$.
Поэтому для любой точки А справедливо равенство
$C_{O_{3}}(A) = C_{O_{2}}(C_{O_{1}}(C_{O_{2}}(A)))$,
откуда имеем
$C_{O_{3}}(M) = C_{O_{2}}( C_{O_{1}}( C_{O_{2}}(M))) = C_{O_{2}}( C_{O_{1}}(M)) = C_{O_{2}}(M) = M$,
Аналогично, точки
$O_{4} = C_{O_{3}}(O_{2}), O_{5} = C_{O_{4}}(O_{3})$ и т. д.
имеются центрами симметрии множества М. Так как
$\overrightarrow{O_{1}O_{2}} = \overrightarrow{O_{2}O_{3}} = \overrightarrow{O_{3}O_{4}} = \cdots$,
то все полученные центры симметрии различны, а значит, их бесконечно много.
Доказать, что если множество на плоскости имеет более одного центра симметрии, то оно имеет их бесконечно много.
Решение:
Пусть множество М имеет два различных центра симметрии $O_{1}$ и $O_{2}$ Тогда точка $O_{3}$, симметричная точке $O_{1}$ относительно точен $O_{2}$, также является центром симметрии множества М. Действительно, если через $C_{O}(A)$ обозначить точку, симметричную точке А относительно точки О, то из симметричности точек А и $C_{O_{2}}(A)$, а также точек $O_{3}$ и $O_{1}$ относительно точки $O_{2}$ вытекает (рис.) симметричность точек $C_{O_{3}}(A)$ и $C_{O_{2}}(C_{O_{3}}(A))$ относительно той же точки $O_{3}$.
Поэтому для любой точки А справедливо равенство
$C_{O_{3}}(A) = C_{O_{2}}(C_{O_{1}}(C_{O_{2}}(A)))$,
откуда имеем
$C_{O_{3}}(M) = C_{O_{2}}( C_{O_{1}}( C_{O_{2}}(M))) = C_{O_{2}}( C_{O_{1}}(M)) = C_{O_{2}}(M) = M$,
Аналогично, точки
$O_{4} = C_{O_{3}}(O_{2}), O_{5} = C_{O_{4}}(O_{3})$ и т. д.
имеются центрами симметрии множества М. Так как
$\overrightarrow{O_{1}O_{2}} = \overrightarrow{O_{2}O_{3}} = \overrightarrow{O_{3}O_{4}} = \cdots$,
то все полученные центры симметрии различны, а значит, их бесконечно много.
