Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2489
2019-03-28 
Решить систему:
$\begin{cases} \sin x + \sin y = \sin \alpha \\ \cos x + \cos y = \cos \alpha \end{cases}$.
Решение:
Перенесем $\sin у$ и $\cos y$ в правую часть:
$\begin{cases} \sin x = \sin \alpha - \sin y \\ \cos x = \cos \alpha - \cos y \end{cases}$.
Возведем каждое уравнение в квадрат и сложим:
$1 = 2 - 2 (\sin \alpha \sin y + \cos \alpha \cos y)$,
т.е. $\cos (y - \alpha) = \frac{1}{2}$. Таким образом, $у - \alpha = 2 n \pi \pm \frac{\pi}{3}$. Аналогично найдем, что $x - \alpha = 2k \pi \pm \frac{ \pi}{3}$.
Система еще не решена, так как при возведении в квадрат могли быть приобретены посторонние корни. Чтобы сделать проверку, подставим $х = \alpha + 2k \pi \pm \frac{ \pi}{3}$ и $y = \alpha + 2n \pi \pm \frac{ \pi}{3}$ в данную систему:
$\begin{cases} \sin \left (\alpha + 2k \pi \pm \frac{\pi}{3} \right ) + \sin \left (\alpha + 2n \pi \pm \frac{\pi}{3} \right ) = \sin \alpha \\ \cos \left (\alpha + 2k \pi \pm \frac{ \pi}{3} \right ) + \cos \left (\alpha + 2n \pi \pm \frac{ \pi}{3} \right ) = \cos \alpha \end{cases}$
Обратим внимание на то, что в этой записи не исключается возможность выбора произвольных комбинаций знаков плюс и минус для $х$ и $у$.
Если в выражениях для $х$ и $у$ взять одинаковые знаки, например плюс, то получим систему
$\begin{cases} \sin \left (\alpha + \frac{ \pi}{3} \right ) = \sin \alpha \\ 2\cos \left ( \alpha + \frac{ \pi}{3} \right ) = \cos \alpha \end{cases}$,
откуда следует
$tg \left (\alpha + \frac{\pi}{3} \right ) = tg \alpha$ или $сtg \left (\alpha + \frac{ \pi}{3} \right ) = сtg \alpha$,
что неверно при всех $\alpha$.
Если взять разные знаки, то
$\sin \left ( \alpha + \frac{\pi}{3} \right ) + \sin \left ( \alpha - \frac{\pi}{3} \right ) = 2 \sin \alpha \cos \frac{\pi}{3} = \sin \alpha$, $\cos \left ( \alpha + \frac{\pi}{3} \right ) + \cos \left ( \alpha - \frac{\pi}{3} \right ) = 2 \cos \alpha \cos \frac{\pi}{3} = \cos \alpha$,
т. е. каждое уравнение системы превращается в тождество.
Ответ. $\begin{cases} x = 2 k \pi \pm \frac{\pi}{3} + \alpha \\ y = 2 n \pi \mp \frac{ \pi}{3} + \alpha \end{cases}$,
где берутся или только верхние, или только нижние знаки.
Замечание. Найдя $у = \alpha + 2n \pi \pm \frac{\pi}{3}$, можно было искать $х$ с помощью подстановки. Однако это не избавило бы нас от необходимости делать проверку, так как в процессе решения уравнения возводились в квадрат.
Решить систему:
$\begin{cases} \sin x + \sin y = \sin \alpha \\ \cos x + \cos y = \cos \alpha \end{cases}$.
Решение:
Перенесем $\sin у$ и $\cos y$ в правую часть:
$\begin{cases} \sin x = \sin \alpha - \sin y \\ \cos x = \cos \alpha - \cos y \end{cases}$.
Возведем каждое уравнение в квадрат и сложим:
$1 = 2 - 2 (\sin \alpha \sin y + \cos \alpha \cos y)$,
т.е. $\cos (y - \alpha) = \frac{1}{2}$. Таким образом, $у - \alpha = 2 n \pi \pm \frac{\pi}{3}$. Аналогично найдем, что $x - \alpha = 2k \pi \pm \frac{ \pi}{3}$.
Система еще не решена, так как при возведении в квадрат могли быть приобретены посторонние корни. Чтобы сделать проверку, подставим $х = \alpha + 2k \pi \pm \frac{ \pi}{3}$ и $y = \alpha + 2n \pi \pm \frac{ \pi}{3}$ в данную систему:
$\begin{cases} \sin \left (\alpha + 2k \pi \pm \frac{\pi}{3} \right ) + \sin \left (\alpha + 2n \pi \pm \frac{\pi}{3} \right ) = \sin \alpha \\ \cos \left (\alpha + 2k \pi \pm \frac{ \pi}{3} \right ) + \cos \left (\alpha + 2n \pi \pm \frac{ \pi}{3} \right ) = \cos \alpha \end{cases}$
Обратим внимание на то, что в этой записи не исключается возможность выбора произвольных комбинаций знаков плюс и минус для $х$ и $у$.
Если в выражениях для $х$ и $у$ взять одинаковые знаки, например плюс, то получим систему
$\begin{cases} \sin \left (\alpha + \frac{ \pi}{3} \right ) = \sin \alpha \\ 2\cos \left ( \alpha + \frac{ \pi}{3} \right ) = \cos \alpha \end{cases}$,
откуда следует
$tg \left (\alpha + \frac{\pi}{3} \right ) = tg \alpha$ или $сtg \left (\alpha + \frac{ \pi}{3} \right ) = сtg \alpha$,
что неверно при всех $\alpha$.
Если взять разные знаки, то
$\sin \left ( \alpha + \frac{\pi}{3} \right ) + \sin \left ( \alpha - \frac{\pi}{3} \right ) = 2 \sin \alpha \cos \frac{\pi}{3} = \sin \alpha$, $\cos \left ( \alpha + \frac{\pi}{3} \right ) + \cos \left ( \alpha - \frac{\pi}{3} \right ) = 2 \cos \alpha \cos \frac{\pi}{3} = \cos \alpha$,
т. е. каждое уравнение системы превращается в тождество.
Ответ. $\begin{cases} x = 2 k \pi \pm \frac{\pi}{3} + \alpha \\ y = 2 n \pi \mp \frac{ \pi}{3} + \alpha \end{cases}$,
где берутся или только верхние, или только нижние знаки.
Замечание. Найдя $у = \alpha + 2n \pi \pm \frac{\pi}{3}$, можно было искать $х$ с помощью подстановки. Однако это не избавило бы нас от необходимости делать проверку, так как в процессе решения уравнения возводились в квадрат.
