Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2488
2019-03-28 
Решить систему:
$\begin{cases} tg x ctg y = a \\ ctg x tg y = 2 \end{cases}$.
Решение:
Так как в уравнения системы входят одновременно $tg x$ и $ctg x$, $tg y$ и $ctg y$, то неизвестные не могут принимать значения $(k \pi)/2$. С учетом этого данную систему можно записать сначала так:
$\begin{cases} tg x + \frac{1}{tg y} = a \\ \frac{1}{tg x} + tg y = 2 \end{cases}$,
а затем так:
$\begin{cases} tg x tg y + 1 = a tg y \\ tg x tg y + 1 = 2 tg x \end{cases}$,
откуда $a tg y = 2 tg x$.
Если $a = 0$, то $tg x = 0$, a $ctg x$ не существует. Поэтому $a \neq 0$ и $tg y = \frac{2}{a} tg x$. Подставляем в первое уравнение системы
$tg x + \frac{a}{2 tg x} = a$,
т.е.
$2 tg^2 x - 2a tg x + a = 0$.
Решаем последнее уравнение:
$tg x = \frac {a \pm \sqrt {a^2 - 2a}}{2}$,
и находим $tg y$:
$tg y = \frac {a \pm \sqrt {a^2 - 2a}}{2}$.
Дискриминант стоящего слева квадратного трехчлена равен $а^2-2a$. Он неотрицателен, если $а \leq 0$ или $a \geq 2$. Значение $а = 0$ нужно исключить.
При остальных $а$ ни $tg x$, ни $tg y$ не обращаются в нуль и существуют. Остается сделать проверку.
Ответ. Если $а < 0$ или $а \geq 2$, то
$\begin{cases} x = arctg \frac {a \pm \sqrt {a^2 - 2a}}{2} + n \pi \\ y = arctg \frac {a \pm \sqrt {a^2 - 2a}}{2} + k \pi \end{cases}$,
где одновременно берутся либо верхние, либо нижние знаки.
Решить систему:
$\begin{cases} tg x ctg y = a \\ ctg x tg y = 2 \end{cases}$.
Решение:
Так как в уравнения системы входят одновременно $tg x$ и $ctg x$, $tg y$ и $ctg y$, то неизвестные не могут принимать значения $(k \pi)/2$. С учетом этого данную систему можно записать сначала так:
$\begin{cases} tg x + \frac{1}{tg y} = a \\ \frac{1}{tg x} + tg y = 2 \end{cases}$,
а затем так:
$\begin{cases} tg x tg y + 1 = a tg y \\ tg x tg y + 1 = 2 tg x \end{cases}$,
откуда $a tg y = 2 tg x$.
Если $a = 0$, то $tg x = 0$, a $ctg x$ не существует. Поэтому $a \neq 0$ и $tg y = \frac{2}{a} tg x$. Подставляем в первое уравнение системы
$tg x + \frac{a}{2 tg x} = a$,
т.е.
$2 tg^2 x - 2a tg x + a = 0$.
Решаем последнее уравнение:
$tg x = \frac {a \pm \sqrt {a^2 - 2a}}{2}$,
и находим $tg y$:
$tg y = \frac {a \pm \sqrt {a^2 - 2a}}{2}$.
Дискриминант стоящего слева квадратного трехчлена равен $а^2-2a$. Он неотрицателен, если $а \leq 0$ или $a \geq 2$. Значение $а = 0$ нужно исключить.
При остальных $а$ ни $tg x$, ни $tg y$ не обращаются в нуль и существуют. Остается сделать проверку.
Ответ. Если $а < 0$ или $а \geq 2$, то
$\begin{cases} x = arctg \frac {a \pm \sqrt {a^2 - 2a}}{2} + n \pi \\ y = arctg \frac {a \pm \sqrt {a^2 - 2a}}{2} + k \pi \end{cases}$,
где одновременно берутся либо верхние, либо нижние знаки.
