Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2487
2019-03-28 
Решить систему:
$\begin{cases} tg x tg z = 3 \\ tg y tg z = 6 \\ x + y + z = \pi \end{cases}$.
Решение:
Разделив второе уравнение на первое, получим $tg y = 2 tg x$. Так как $x + y = \pi - z$, то $tg z = - tg (\pi - z) = - tg (x + y)$.
По формуле тангенса суммы получаем
$- tg ( x+ y) = - \frac {tg x + tg y}{1 - tg x tg y} = \frac {3 tg x}{2 tg^2 x - 1}$.
Применение неабсолютного тождества не приводит к потере решений, так как $tg x$ и $tg y$ входят в данную систему. Подставляем в первое уравнение
$\frac {3 tg^2 x}{2 tg^2 x - 1} = 3$,
откуда $tg^2 x = 1, x = k \pi \pm \frac{ \pi}{4}$. Найти $у$ и $z$ теперь не составляет труда.
Производя вычисления отдельно для $x = k \pi + \frac{ \pi}{4}$ и для $x = k \pi - \frac{ \pi}{4}$, после проверки получим решение системы.
Ответ. $\begin{cases} x = k \pi + \frac{ \pi}{4} \\ y = n \pi + arctg 2 \\ z = \frac{3 \pi}{4} - arctg 2 - \pi (k + n) \end{cases}$; $\begin{cases} x = k \pi - \frac{ \pi}{4} \\ y = n \pi - arctg 2 \\ z = \frac{5 \pi}{4} + arctg 2 - \pi (k + n) \end{cases}$.
Решить систему:
$\begin{cases} tg x tg z = 3 \\ tg y tg z = 6 \\ x + y + z = \pi \end{cases}$.
Решение:
Разделив второе уравнение на первое, получим $tg y = 2 tg x$. Так как $x + y = \pi - z$, то $tg z = - tg (\pi - z) = - tg (x + y)$.
По формуле тангенса суммы получаем
$- tg ( x+ y) = - \frac {tg x + tg y}{1 - tg x tg y} = \frac {3 tg x}{2 tg^2 x - 1}$.
Применение неабсолютного тождества не приводит к потере решений, так как $tg x$ и $tg y$ входят в данную систему. Подставляем в первое уравнение
$\frac {3 tg^2 x}{2 tg^2 x - 1} = 3$,
откуда $tg^2 x = 1, x = k \pi \pm \frac{ \pi}{4}$. Найти $у$ и $z$ теперь не составляет труда.
Производя вычисления отдельно для $x = k \pi + \frac{ \pi}{4}$ и для $x = k \pi - \frac{ \pi}{4}$, после проверки получим решение системы.
Ответ. $\begin{cases} x = k \pi + \frac{ \pi}{4} \\ y = n \pi + arctg 2 \\ z = \frac{3 \pi}{4} - arctg 2 - \pi (k + n) \end{cases}$; $\begin{cases} x = k \pi - \frac{ \pi}{4} \\ y = n \pi - arctg 2 \\ z = \frac{5 \pi}{4} + arctg 2 - \pi (k + n) \end{cases}$.
