Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2485
2019-03-28 
Решить систему:
$\begin{cases} \sqrt {2} \sin x = \sin y \\ \sqrt {2} \cos x = \sqrt {5} \cos y \end{cases}$.
Решение:
Возведем каждое уравнение в квадрат и сложим:
$2 = \sin^2 y + 5 \cos^2 y$,
откуда $\cos^2 y = \frac{1}{4}$, т.е. $\cos y = \pm \frac{1}{2}$.
Учитывая второе уравнение исходной системы, приходим к совокупности двух систем
$\begin{cases} \cos y = \frac{1}{2} \\ \cos x = \frac{ \sqrt{10}}{4} \end{cases}$; $\begin{cases} \cos y = - \frac{1}{2} \\ \cos x = - \frac{\sqrt{10}}{4} \end{cases}$.
Возводя при решении оба уравнения в квадрат, мы могли приобрести посторонние решения. Отсеять их можно просто: достаточно выбрать $\sin x$ и $\sin у$ так, чтобы они имели одинаковый знак (для $\cos x$ и $\cos y$ мы это уже обеспечили). Оба эти требования означают, что $x$ и $у$ должны лежать в одной четверти.
Решая первую систему, получим
$\begin{cases} y = 2 \pi n \pm \frac{\pi}{3} \\ x = 2 \pi k \pm \arccos \frac{\sqrt 10}{4} \end{cases}$.
Значения $x$ и $у$ будут лежать в одной четверти, если мы одновременно возьмем только верхние или только нижние знаки.
Аналогично поступаем со второй системой.
Ответ. $\begin{cases} x = 2 \pi k \pm \arccos \frac{\sqrt{10}}{4} \\ y = 2 \pi n \pm \frac{\pi}{3} \end{cases}$;
$\begin{cases} x = 2 \pi k \pm \left ( \pi - \arccos \frac{ \sqrt{10}}{4} \right ) \\ y = 2 \pi n \pm \frac{2 \pi}{3} \end{cases}$,
где одновременно берут либо только верхние, либо только нижние знаки.
Решить систему:
$\begin{cases} \sqrt {2} \sin x = \sin y \\ \sqrt {2} \cos x = \sqrt {5} \cos y \end{cases}$.
Решение:
Возведем каждое уравнение в квадрат и сложим:
$2 = \sin^2 y + 5 \cos^2 y$,
откуда $\cos^2 y = \frac{1}{4}$, т.е. $\cos y = \pm \frac{1}{2}$.
Учитывая второе уравнение исходной системы, приходим к совокупности двух систем
$\begin{cases} \cos y = \frac{1}{2} \\ \cos x = \frac{ \sqrt{10}}{4} \end{cases}$; $\begin{cases} \cos y = - \frac{1}{2} \\ \cos x = - \frac{\sqrt{10}}{4} \end{cases}$.
Возводя при решении оба уравнения в квадрат, мы могли приобрести посторонние решения. Отсеять их можно просто: достаточно выбрать $\sin x$ и $\sin у$ так, чтобы они имели одинаковый знак (для $\cos x$ и $\cos y$ мы это уже обеспечили). Оба эти требования означают, что $x$ и $у$ должны лежать в одной четверти.
Решая первую систему, получим
$\begin{cases} y = 2 \pi n \pm \frac{\pi}{3} \\ x = 2 \pi k \pm \arccos \frac{\sqrt 10}{4} \end{cases}$.
Значения $x$ и $у$ будут лежать в одной четверти, если мы одновременно возьмем только верхние или только нижние знаки.
Аналогично поступаем со второй системой.
Ответ. $\begin{cases} x = 2 \pi k \pm \arccos \frac{\sqrt{10}}{4} \\ y = 2 \pi n \pm \frac{\pi}{3} \end{cases}$;
$\begin{cases} x = 2 \pi k \pm \left ( \pi - \arccos \frac{ \sqrt{10}}{4} \right ) \\ y = 2 \pi n \pm \frac{2 \pi}{3} \end{cases}$,
где одновременно берут либо только верхние, либо только нижние знаки.
