ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-28   
Решить систему:

$\begin{cases} 4 tg 3x = 3 tg 2y \\ 2 \sin x \cos (x-y) = \sin y \end{cases}$.


Решение:


Второе уравнение можно преобразовать так:

$\sin y + \sin (2x - y) = \sin y$,

т.е. $\sin (sx-y) = 0$, откуда $y = 2x = n \pi$. Подставив в первое уравнение системы

$4 tg 3x = 3 tg 4x$.

При условии, что $\cos 3x \neq 0$ и $\cos 4x \neq 0$, это уравнение равносильно такому:

$4\sin 3x \cos 4x - 3 \sin 4x \cos 3x = 0$,

или

$4\sin 3x \cos 4x - 3 (\sin 4x \cos 3x - \sin 3x \cos 4x) = 0$,
$\sin 3x \cos 4x - 3 \sin x = 0$.

Так как $\sin 3x \cos 4x = \frac{1}{2} (\sin 7x - \sin x)$, то придем к уравнению

$7 \sin x = \sin 7x$.

По индукции можно доказать, что

$\sin nx \leq n |\sin x|$,

причем равенство достигается лишь при $x = k \pi$. Следовательно, уравнение $7 \sin x = \sin 7x$ имеет решения $x = k \pi$.

При этом $\cos 3x \neq 0$ и $\cos 4x \neq 0$.

Подставляя в выражение для $y$, получим

$y = n \pi$.
Ответ. $x = k \pi, y = n \pi$.