ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-28   
Решить систему:

$\begin{cases} \cos^2 y + 3 \sin x \sin y = 0 \\ 21 \cos 2x - \cos 2y = 10 \end{cases}$.


Решение:


Перепишем систему в виде

$\begin{cases} 1 - \sin^2 y + 3 \sin x \sin y = 0 \\ 21 (1-2 \sin^2 x) - (1 - 2 \sin^2 y) = 10 \end{cases}$

Введем обозначения: $\sin x = u, \sin y - v$. Получим систему

$\begin{cases} v^2 - 3uv = 1 \\ 21 u^2 - v^2 = 5 \end{cases}$.

Воспользуемся заменой $v = ut$:

$\begin{cases} u^2 (t^2 - 3t) = 1 \\ u^2 (21 - t^2) = 5 \end{cases}$,

откуда

$5 (t^2 - 3t) = 21 - t^2$,

т.е.

$2t^2 - 5t - 7 = 0, t_1 = \frac{7}{2}, t_2 = -1$.

Если $t= \frac{7}{2}$, то из первого уравнения последней системы мы получим

$u^2 = \frac{4}{7}$, $u = \pm \frac{2}{ \sqrt{7}}; v = ut = \pm \frac{2}{ \sqrt{7}} \cdot \frac{7}{2} = \pm \sqrt{7}$,

что невозможно, так как $v = \sin y$.

Если же $t = -1$, то $u^2 = \frac{1}{4}, u = \pm \frac{1}{2}$.

Приходим к совокупности двух систем

$\begin{cases} u = \frac{1}{2} \\ v = - \frac{1}{2} \end{cases}$;
$\begin{cases} u = - \frac{1}{2} \\ v = \frac{1}{2} \end{cases}$.

Ответ. $\begin{cases} x = \frac{ \pi}{6} (-1)^k + k \pi \\ y = \frac{ \pi}{6} (-1)^{n+1} + n \pi \end{cases}$;
$\begin{cases} x = \frac{ \pi}{6} (-1)^{k+1} + k \pi \\ y = \frac{ \pi}{6} (-1)^{n} + n \pi \end{cases}$.