ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-28   
При каких значениях $a$ уравнение $1 + \sin^ ax = \cos x$ имеет единственное решение?


Решение:


Данное уравнение равносильно системе

$\begin{cases} \sin ax = 0 \\ \cos x = 1 \end{cases}$,

решая которую найдем $ax = k \pi$ и $x = 2n \pi$. Приравнивая значения неизвестного, найденные из каждого уравнения, получим

$\frac{ k \pi}{a} = 2n \pi$, т.е. $\frac{k}{a} = 2n$.

Это в том случае, если $a \neq 0$. Но если $а = 0$, данное уравнение примет вид $\cos x = 1$ и, следовательно, имеет бесконечное множество корней.

Итак, $k = 2nа$.

Если $a = \frac{p}{q}$ - рациональное число, то $k = \frac{2np}{q}$. Это значит, что при всех $n$ кратных $q$ мы будем получать корень данного уравнения $х = 2n \pi$, т. е. уравнение имеет бесконечное множество корней.

Пусть теперь $a$ - иррациональное число. Тогда при всех $n$, кроме $n = 0$, $k$ не будет целым, а уравнение будет иметь единственное решение $x = 0$.
Ответ. $a$ - иррациональное.