Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 248
2014-06-07 
Отрезки AВ и CD равны и не параллельны. Найти геометрическое место точек О, обладающих следующим свойством: отрезок, симметричный отрезку АВ относительно точки О, симметричен отрезку CD относительно некоторой прямой.
Решение:
Обозначим через $A^{\prime}B^{\prime}$ образ отрезка $AB$ при симметрии относительно искомой точки О. Рассмотрим произвольную прямую l такую, что образ $C^{\prime}D^{\prime}$ отрезка $CD$ при симметрии относительно l параллелен $A^{\prime}B^{\prime}$. Так как $C^{\prime}D^{\prime} \parallel A^{\prime}B^{\prime} \parallel AB$, то прямая l параллельна одной из взаимно перпендикулярных биссектрис $l_{1}$ или $l_{2}$ между прямыми АВ и CD (рис.). Обозначим образ отрезка CD при симметрии относительно прямой l через $C_{1}^{\prime}D_{1}^{\prime}$, в случае $l \parallel l_{1}$ и через $ C_{2}^{\prime}D_{2}^{\prime}$ в случае $l \parallel l_{2}$. Поскольку $\overrightarrow{C_{1}^{\prime}D_{1}^{\prime}} = - \overrightarrow{C_{2}^{\prime}D_{2}^{\prime}}$, то один из двух векторов $\overrightarrow{C_{1}^{\prime}D_{1}^{\prime}}$, или $\overrightarrow{C_{2}^{\prime}D_{2}^{\prime}}$, скажем первый, равен вектору $\overrightarrow{AB}$. В этом случае отрезки $A^{\prime}B^{\prime}$ и $C^{\prime}_{1}D^{\prime}_{1}$ ( совпадают (при соответствующем выборе прямой $l \parallel l_{1}$) тогда и только тогда, когда точка $O=O_{1}$ лежит на прямой $m_{1} \perp l_{1}$, равноудаленной от точек А и D. Аналогично, отрезки $A^{\prime}B^{\prime}$ и $C^{\prime}_{2}D^{\prime}_{2}$ совпадают (при соответствующем выборе прямой $l \parallel l_{2}$) когда точка $O = O_{2}$ лежит на прямой $m_{2} \perp l_{2}$, равноудаленной от точек А и С. Таким образом, искомое геометрическое место точек О есть объединение указанных прямых $m_{1}$ и $m_{2}$.
Отрезки AВ и CD равны и не параллельны. Найти геометрическое место точек О, обладающих следующим свойством: отрезок, симметричный отрезку АВ относительно точки О, симметричен отрезку CD относительно некоторой прямой.
Решение:
Обозначим через $A^{\prime}B^{\prime}$ образ отрезка $AB$ при симметрии относительно искомой точки О. Рассмотрим произвольную прямую l такую, что образ $C^{\prime}D^{\prime}$ отрезка $CD$ при симметрии относительно l параллелен $A^{\prime}B^{\prime}$. Так как $C^{\prime}D^{\prime} \parallel A^{\prime}B^{\prime} \parallel AB$, то прямая l параллельна одной из взаимно перпендикулярных биссектрис $l_{1}$ или $l_{2}$ между прямыми АВ и CD (рис.). Обозначим образ отрезка CD при симметрии относительно прямой l через $C_{1}^{\prime}D_{1}^{\prime}$, в случае $l \parallel l_{1}$ и через $ C_{2}^{\prime}D_{2}^{\prime}$ в случае $l \parallel l_{2}$. Поскольку $\overrightarrow{C_{1}^{\prime}D_{1}^{\prime}} = - \overrightarrow{C_{2}^{\prime}D_{2}^{\prime}}$, то один из двух векторов $\overrightarrow{C_{1}^{\prime}D_{1}^{\prime}}$, или $\overrightarrow{C_{2}^{\prime}D_{2}^{\prime}}$, скажем первый, равен вектору $\overrightarrow{AB}$. В этом случае отрезки $A^{\prime}B^{\prime}$ и $C^{\prime}_{1}D^{\prime}_{1}$ ( совпадают (при соответствующем выборе прямой $l \parallel l_{1}$) тогда и только тогда, когда точка $O=O_{1}$ лежит на прямой $m_{1} \perp l_{1}$, равноудаленной от точек А и D. Аналогично, отрезки $A^{\prime}B^{\prime}$ и $C^{\prime}_{2}D^{\prime}_{2}$ совпадают (при соответствующем выборе прямой $l \parallel l_{2}$) когда точка $O = O_{2}$ лежит на прямой $m_{2} \perp l_{2}$, равноудаленной от точек А и С. Таким образом, искомое геометрическое место точек О есть объединение указанных прямых $m_{1}$ и $m_{2}$.
