Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2479
2019-03-28 
Решить уравнение:
$\cos^2 3x + \frac{1}{4} \cos^2 x = \cos 3x \cos^4 x$.
Решение:
Дополним левую часть данного уравнения до полного квадрата. Для этого придется ввести еще одно слагаемое: $\cos x \cos 3x$;, знак которого зависит от знака $\cos x$.
Рассмотрим три случая.
а) Если $\cos x > 0$, то перепишем данное уравнение в виде $\cos^2 3x + \frac{1}{4} \cos^2 x - \cos x \cos 3x = \cos 3x \cos^4 x - \cos 3x \cos x$,
или
$\left ( \cos 3x - \frac{1}{2} \cos x \right )^2 + \cos x \cos 3x (1- \cos^3 x) = 0$.
B левой части стоит сумма неотрицательных выражений, следовательно,
$\begin{cases} \cos 3x = \frac{1}{2} \cos x \\ \cos x \cos 3x (1 - \cos^3 x) = 0 \end{cases}$.
По предположению $\cos x > 0$. Из первого уравнения последней системы следует, что тогда $\cos 3x > 0$. Заметим, что $1 - \cos^3 x = (1 - \cos x) (1 + \cos x = \cos^2 x)$, причем всегда $1 + \cos x + cos^2 x > 0$. B итоге приходим к системе
$\begin{cases} \cos x = 2 \cos 3x \\ \cos x = 1 \end{cases}$,
которая несовместна, так как при $\cos x = 1$ мы получим, что $\cos 3x = 1$, а не $\frac{1}{2}$.
б) Если $\cos x = 0$, то $\cos 3x = 4 cos^3 х - 3cos x = 0$, и данное уравнение удовлетворяется. Получаем совокупность корней: $x = \frac{ \pi}{2} + n \pi$.
в) Если $\cos x < 0$, то преобразуем уравнение к виду
$\left ( \cos 3x + \frac{1}{2} \cos x \right )^2 + \cos 3x \cos x (-1 - \cos^3 x) = 0$,
в котором снова оба слагаемых неотрицательны. Аналогично случаю а), это приводит нас к несовместной системе (закончить исследование самостоятельно).
Ответ. $\frac{ \pi}{2} + n \pi$.
Решить уравнение:
$\cos^2 3x + \frac{1}{4} \cos^2 x = \cos 3x \cos^4 x$.
Решение:
Дополним левую часть данного уравнения до полного квадрата. Для этого придется ввести еще одно слагаемое: $\cos x \cos 3x$;, знак которого зависит от знака $\cos x$.
Рассмотрим три случая.
а) Если $\cos x > 0$, то перепишем данное уравнение в виде $\cos^2 3x + \frac{1}{4} \cos^2 x - \cos x \cos 3x = \cos 3x \cos^4 x - \cos 3x \cos x$,
или
$\left ( \cos 3x - \frac{1}{2} \cos x \right )^2 + \cos x \cos 3x (1- \cos^3 x) = 0$.
B левой части стоит сумма неотрицательных выражений, следовательно,
$\begin{cases} \cos 3x = \frac{1}{2} \cos x \\ \cos x \cos 3x (1 - \cos^3 x) = 0 \end{cases}$.
По предположению $\cos x > 0$. Из первого уравнения последней системы следует, что тогда $\cos 3x > 0$. Заметим, что $1 - \cos^3 x = (1 - \cos x) (1 + \cos x = \cos^2 x)$, причем всегда $1 + \cos x + cos^2 x > 0$. B итоге приходим к системе
$\begin{cases} \cos x = 2 \cos 3x \\ \cos x = 1 \end{cases}$,
которая несовместна, так как при $\cos x = 1$ мы получим, что $\cos 3x = 1$, а не $\frac{1}{2}$.
б) Если $\cos x = 0$, то $\cos 3x = 4 cos^3 х - 3cos x = 0$, и данное уравнение удовлетворяется. Получаем совокупность корней: $x = \frac{ \pi}{2} + n \pi$.
в) Если $\cos x < 0$, то преобразуем уравнение к виду
$\left ( \cos 3x + \frac{1}{2} \cos x \right )^2 + \cos 3x \cos x (-1 - \cos^3 x) = 0$,
в котором снова оба слагаемых неотрицательны. Аналогично случаю а), это приводит нас к несовместной системе (закончить исследование самостоятельно).
Ответ. $\frac{ \pi}{2} + n \pi$.
