ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-28   
Решить уравнение:

$\sin^3 x + \cos^3 x = 1$.


Решение:


Данное уравнение можно переписать в виде

$\sin^3 x + \cos^3 x = \sin^2 x + \cos^2 x$,

откуда

$\sin^2 x (1 - \sin x) + \cos^2 x (1 - \cos x) = 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю:

$\begin{cases} \sin^2 x (1 - \sin x) = 0 \\ \cos^2 x (1 - \cos x) = 0 \end{cases}$.

Если в первом уравнении $\sin x = 0$, то $\cos x \neq 0$. Получаем систему

$\begin{cases} \sin x = 0 \\ \cos x = 1 \end{cases}$,

решения которой: $x = 2 k \pi$.
Если в первом уравнении $1 - \sin x = 0$, т.е. $\sin x = 1$, то $\cos x \neq 1$. Приходим к системе

$\begin{cases} \sin x = 1 \\ \cos x = 0 \end{cases}$,

решения которой: $x = \frac{\pi}{2} (4k + 1)$.
Ответ. $2 k \pi; \frac{ \pi}{2} (4k + 1)$.