ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-28   
Решить уравнение:

$\cos (\pi \sqrt {x}) \cos (\pi \sqrt {x - 4}) = 1$.


Решение:


Данное уравнение эквивалентно совокупности двух систем

$\begin{cases} \cos (\pi \sqrt {x}) = 1 \\ \cos (\pi \sqrt {x-4}) = 1 \end{cases}$; $\begin{cases} \cos (\pi \sqrt {x}) = -1 \\ \cos (\pi \sqrt {x-4}) = -1 \end{cases}$.

Первая система может быть переписана так:

$\begin{cases} \pi \sqrt x = 2 \pi k \\ \cos (\pi \sqrt {x - 4}) = 1 \end{cases}$, или $\begin{cases} \sqrt x = 2 k \\ \sqrt {x - 4} = 2n \end{cases}$,

откуда

$\begin{cases} x = 4k^2 \\ x = 4n^2 + 4 \end{cases}$, $k,n = 0, 1, 2, \cdots$.

(Для $k$ и $n$ берутся только неотрицательные значения). Приравнивая различные выражения для $x$, получим $k^2 = n^2 + 1$, откуда $(k-n)(k+n) = 1$. Так как $k$ и $n$ - целые и неотрицательные, то $k = 1, n = 0$.

Теперь $x$ определяется однозначно: $x=4$.

Решаем вторую систему:

$\begin{cases} \sqrt x = 2k + 1 \\ \sqrt {x-4} = 2n = 1 \end{cases}$; $\begin{cases} x = (2k + 1)^2 \\ x = (2n + 1)^2 + 4 \end{cases}$, где $k, n = 0, 1, 2, \cdots$.

Приравнивая правые части последней системы, получим

$(2k + 1)^2 - (2n +1)^2 = 4$,

т.е., разлагая на множители и сокращая на 4,

$(k-n)(k+n+1) = 1$.

Так как $n$ и $k$ - целые и неотрицательные числа, то последнее уравнение равносильно системе

$\begin{cases} k-n = 1 \\ k+n = 0 \end{cases}$,

которая не имеет целых решений.
Ответ. 4.