Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2475
2019-03-28 
Решить уравнение:
$\sin^2 x + \sin 2x \sin 4x + \cdots + \sin nx \sin n^2 x = 1$.
Решение:
Так как
$\sin kx \sin k^2x = \frac{1}{2} \{ \cos [(l-1) kx] - \cos [k(k+1) x] \}$,
то уравнение можно переписать в виде
$1 - \cos 2x + \cos 2x - \cos 6x + \cos 6x - \cos 12 x + \cdots + \cos [(n-2)(n-1) x] - \cos [(n-1) nx] + \cos [(n-1)nx] - \cos [n(n+1)x] = 2$,
откуда
$\cos [n(n+1)x] = -1$,
$n(n+1)x = (2k + 1) \pi, x = \frac {2k+1}{n(n+1)} \pi$.
Ответ. $\frac {2k+1}{n(n+1)} \pi$, где $k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots$, а натуральное $n$ фиксировано.
Решить уравнение:
$\sin^2 x + \sin 2x \sin 4x + \cdots + \sin nx \sin n^2 x = 1$.
Решение:
Так как
$\sin kx \sin k^2x = \frac{1}{2} \{ \cos [(l-1) kx] - \cos [k(k+1) x] \}$,
то уравнение можно переписать в виде
$1 - \cos 2x + \cos 2x - \cos 6x + \cos 6x - \cos 12 x + \cdots + \cos [(n-2)(n-1) x] - \cos [(n-1) nx] + \cos [(n-1)nx] - \cos [n(n+1)x] = 2$,
откуда
$\cos [n(n+1)x] = -1$,
$n(n+1)x = (2k + 1) \pi, x = \frac {2k+1}{n(n+1)} \pi$.
Ответ. $\frac {2k+1}{n(n+1)} \pi$, где $k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots$, а натуральное $n$ фиксировано.
