Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2474
2019-03-28 
Решить уравнение: $\sin \frac{x}{2} (\sin x + \sin 2x + \cdots + \sin 100x) = \frac{1}{2} \sin \frac{101x}{2} $.
Решение:
Раскроем скобки и применим формулу преобразования произведения синусов в разность косинусов:
$\left ( \cos \frac{x}{2} - \cos \frac{3x}{2} \right ) + \left (\cos \frac{3x}{2} - \cos \frac{5x}{2} \right ) + \cdots + \left (\cos \frac{199x}{3} - \cos \frac{201x}{2} \right ) = \sin \frac{101x}{2}$.
Приведя подобные члены, получим
$\cos \frac{x}{2} - \cos \frac{201x}{2} = \sin \frac{101x}{2}$, или $2 \sin \frac{101x}{2} \sin 50x - \sin \frac{101x}{2} = 0$,
откуда
$\sin \frac{101x}{2} = 0$, $x_1 = \frac{ 2 n \pi}{101}$,
и
$\sin 50x = \frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{n \pi}{50} + (-1)^n \frac{ \pi}{300}$.
Ответ. $\frac{ n \pi}{50} + (-1)^n \frac{ \pi}{300}; \frac{ 2n \pi}{101}$.
Решить уравнение: $\sin \frac{x}{2} (\sin x + \sin 2x + \cdots + \sin 100x) = \frac{1}{2} \sin \frac{101x}{2} $.
Решение:
Раскроем скобки и применим формулу преобразования произведения синусов в разность косинусов:
$\left ( \cos \frac{x}{2} - \cos \frac{3x}{2} \right ) + \left (\cos \frac{3x}{2} - \cos \frac{5x}{2} \right ) + \cdots + \left (\cos \frac{199x}{3} - \cos \frac{201x}{2} \right ) = \sin \frac{101x}{2}$.
Приведя подобные члены, получим
$\cos \frac{x}{2} - \cos \frac{201x}{2} = \sin \frac{101x}{2}$, или $2 \sin \frac{101x}{2} \sin 50x - \sin \frac{101x}{2} = 0$,
откуда
$\sin \frac{101x}{2} = 0$, $x_1 = \frac{ 2 n \pi}{101}$,
и
$\sin 50x = \frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{n \pi}{50} + (-1)^n \frac{ \pi}{300}$.
Ответ. $\frac{ n \pi}{50} + (-1)^n \frac{ \pi}{300}; \frac{ 2n \pi}{101}$.
