ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-28   
Решить уравнение:

$\sin 4x = m tg x$, где $m > 0$.


Решение:


Так как $\sin 4x = 4 \sin x \cos x (2 cos^2 x - 1)$, то данное уравнение можно переписать в виде

$\sin x \left [4 \cos x (2 \cos^2 x - 1) - \frac{m}{ \cos x} \right ] = 0$

Если $\sin x = 0$, то $x = k \pi$. Это - корни данного уравнения, так как $\cos k \pi \neq 0$.

Если выражение в квадратных скобках равно нулю, то приходим к биквадратному уравнению

$8 \cos^4 x - 4 \cos^2 x - m = 0$,

среди корней которого не должно быть $\cos x = 0$.
Решая это биквадратное уравнение, получим

$\cos^2 x = \frac {1 \pm \sqrt {1 + 2m}}{4}$.

Так как $m > 0$, то перед корнем берем знак плюс. (Очевидно, что при этом $\cos x \neq 0$). Воспользуемся формулой

$\cos^2 x = \frac {1 + \cos 2x}{2}$ и преобразуем уравнение к виду

$\cos 2x = \frac {-1 + \sqrt {1 + 2m}}{2}$.

Правая часть этого уравнения положительна. Поэтому, чтобы уравнение имело решение, достаточно

$\frac {-1 + \sqrt {1 + 2m}}{2} \leq 1$, т.е. $\sqrt {1 + 2 m} \leq 3$,

откуда $m \leq 4$.
Ответ. При $m > 0$ уравнение имеет решение $x = n \pi$; при $0 < m \leq 4$:

$x = \pm \frac{1}{2} \arccos \frac {-1 + \sqrt {1 + 2m}}{2} + n \pi$.