ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-28   
Решить уравнение:

$\sin 4x \sin x - \sin 3x \sin 2x = \frac{1}{2 \cos 3x} + (1+ \cos x)^{ \frac{1}{2}}$.


Решение:


Данное уравнение можно записать в виде

$\frac{1}{2} \cos 3x - \frac{1}{2} \cos 5x - \frac{1}{2} \cos x + \frac{1}{2} \cos 5x = \frac{1}{2} \cos 3x + \sqrt {2} \left | \cos \frac{x}{2} \right |$.

После приведения подобных получим

$- \frac{1}{2} \cos x = \sqrt {2} \left |\cos \frac{x}{2} \right |$,

т.е.

$- \frac{1}{2} \left ( 2 \cos^2 \frac{x}{2} - 1 \right ) = \sqrt{2} \left | \cos \frac{x}{2} \right |$.

Обозначив $\left | \cos \frac{x}{2} \right | = y$, придем к квадратному уравнению

$2y^2 + 2 \sqrt {2} y - 1 = 0$,

корни которого $y_{1,2} = \frac {- \sqrt {2} \pm 2}{2}$. Один из корней отрицательный, а потому посторонний. Остается

$\left | \cos \frac{x}{2} \right | = \frac{ 2 - \sqrt{2}}{2}$,

т.е. $\cos \frac{x}{2} = \pm \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$.

Хотя можно было бы уже написать решения этих простейших уравнений, мы перейдем к синусу, что позволит объединить оба ответа:

$\sin \left ( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{2} \right ) = \mp \frac {2 - \sqrt{2}}{2}$,

откуда

$x = 2n \pi + 7 \pi + 2 (-1)^n arcsin \left ( \mp \frac {2- \sqrt 2}{2} \right ) = 2n \pi + 7 \pi \pm arcsin \frac {2 - \sqrt 2}{2}$.
Ответ. $2 n \pi + 7 \pi \pm 2 \arcsin {\frac {2 - \sqrt 2}{2}}$.