Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2471
2019-03-28 
Решить уравнение:
$\sin 4x \left [2 + ctg x + ctg \left ( \frac{\pi}{4} - x \right ) \right ] = 2 \sqrt {2} (1 + \sin 2x + \cos 2x)$.
Решение:
Преобразуем выражение, стоящее в квадратных скобках:
$2 + ctg x + ctg \left ( \frac{\pi}{4} - x \right ) = (1 + ctg x) + \left [ 1+ ctg \left ( \frac{\pi}{4} - x \right ) \right ] = \sqrt{2} \frac {\sin \left ( \frac{\pi}{4} + x \right )}{\sin x} + \sqrt{2} \frac {\cos x}{\sin \left ( \frac{\pi}{4} - x \right )} = \sqrt{2} \frac {\cos \left ( \frac{\pi}{4} - x \right ) \sin \left ( \frac{\pi}{4} - x \right ) + \sin x \cos x}{\sin \left ( \frac{\pi}{4} - x \right ) \sin x} = \frac{ \sqrt{2}}{2} \frac {\cos 2x + \sin 2x}{\sin x \sin \left ( \frac{ \pi}{4} - x \right )} = \frac {\sin \left ( \frac{\pi}{4} + x \right )}{\sin x \sin \left ( \frac{\pi}{4} - x \right )}$.
Теперь приведем к виду, удобному для логарифмирования, правую часть уравнения:
$2 \sqrt{2} (1 + \sin 2x + \cos x) = 4 \sqrt{2} \cos x (\sin x + \cos x) = 8 \cos x \sin \left ( \frac{ \pi}{4} + x \right )$.
В итоге получаем уравнение
$\frac {\sin 4x \sin \left ( \frac{\pi}{4} + 2x \right )}{\sin x \sin \left ( \frac{ \pi}{4} - x \right )} = 8 \cos x \sin \left ( \frac{\pi}{4} + x \right )$,
которое равносильно системе
$\begin{cases} \sin 4x \sin \left ( \frac{\pi}{4} + x \right ) = 8 \sin x \cos x \sin \left ( \frac{ \pi}{4} - x \right ) \cos \left ( \frac{\pi}{4} - x \right ) \\ \sin x \sin \left ( \frac{ \pi}{4} + x \right ) \neq 0 \end{cases}$.
Условие $\sin x \sin \sin 4x \sin \left ( \frac{\pi}{4} + x \right ) \neq 0$ подсказывает ,что удобнее в левой части уравнения заменить $\sin 4x$ на его разложение, стоящее справа, чем наоборот. Сокращая после этого обе части уравнения на $8 \sin x \sin \left ( \frac{\pi}{4} + x \right ) \neq 0$, получим уравнение
$\cos x \cos \left ( \frac{\pi}{4} - x \right ) \left [ \sin \left ( \frac{\pi}{4} + 2x \right ) - 1 \right ] = 0$.
Среди корней уравнений $\cos x = 0$ и $\cos \left ( \frac{ \pi}{4} - x \right ) = 0$ не может быть таких, при которых $\sin x \sin \left ( \frac{ \pi}{4} - x \right ) = 0$. Остается проверить корни уравнения $\sin \left ( \frac{ \pi}{4} + 2x \right ) = 1$. Преобразуем вначале условие, которому они должны удовлетворять: $\sin x \sin \left ( \frac{ \pi}{4} - x \right ) \neq 0$, или $\cos \left ( \frac{ \pi}{4} - 2x \right ) - \cos \frac{\pi}{4} \neq 0$, т.е. $\cos \left ( \frac{ \pi}{4} - 2x \right ) \neq \frac{1}{ \sqrt{2}}$, или $\sin \left ( \frac{\pi}{4} + 2x \right ) \neq \frac{1}{ \sqrt{2}}$. Теперь ясно, что в уравнение $\sin \left ( \frac{\pi}{4} + 2x \right ) = 1$ не попали посторонние корни.
Ответ. $\frac{ \pi}{2} + n \pi; - \frac{\pi}{4} + n \pi; \frac{ \pi}{8} + n \pi$.
Решить уравнение:
$\sin 4x \left [2 + ctg x + ctg \left ( \frac{\pi}{4} - x \right ) \right ] = 2 \sqrt {2} (1 + \sin 2x + \cos 2x)$.
Решение:
Преобразуем выражение, стоящее в квадратных скобках:
$2 + ctg x + ctg \left ( \frac{\pi}{4} - x \right ) = (1 + ctg x) + \left [ 1+ ctg \left ( \frac{\pi}{4} - x \right ) \right ] = \sqrt{2} \frac {\sin \left ( \frac{\pi}{4} + x \right )}{\sin x} + \sqrt{2} \frac {\cos x}{\sin \left ( \frac{\pi}{4} - x \right )} = \sqrt{2} \frac {\cos \left ( \frac{\pi}{4} - x \right ) \sin \left ( \frac{\pi}{4} - x \right ) + \sin x \cos x}{\sin \left ( \frac{\pi}{4} - x \right ) \sin x} = \frac{ \sqrt{2}}{2} \frac {\cos 2x + \sin 2x}{\sin x \sin \left ( \frac{ \pi}{4} - x \right )} = \frac {\sin \left ( \frac{\pi}{4} + x \right )}{\sin x \sin \left ( \frac{\pi}{4} - x \right )}$.
Теперь приведем к виду, удобному для логарифмирования, правую часть уравнения:
$2 \sqrt{2} (1 + \sin 2x + \cos x) = 4 \sqrt{2} \cos x (\sin x + \cos x) = 8 \cos x \sin \left ( \frac{ \pi}{4} + x \right )$.
В итоге получаем уравнение
$\frac {\sin 4x \sin \left ( \frac{\pi}{4} + 2x \right )}{\sin x \sin \left ( \frac{ \pi}{4} - x \right )} = 8 \cos x \sin \left ( \frac{\pi}{4} + x \right )$,
которое равносильно системе
$\begin{cases} \sin 4x \sin \left ( \frac{\pi}{4} + x \right ) = 8 \sin x \cos x \sin \left ( \frac{ \pi}{4} - x \right ) \cos \left ( \frac{\pi}{4} - x \right ) \\ \sin x \sin \left ( \frac{ \pi}{4} + x \right ) \neq 0 \end{cases}$.
Условие $\sin x \sin \sin 4x \sin \left ( \frac{\pi}{4} + x \right ) \neq 0$ подсказывает ,что удобнее в левой части уравнения заменить $\sin 4x$ на его разложение, стоящее справа, чем наоборот. Сокращая после этого обе части уравнения на $8 \sin x \sin \left ( \frac{\pi}{4} + x \right ) \neq 0$, получим уравнение
$\cos x \cos \left ( \frac{\pi}{4} - x \right ) \left [ \sin \left ( \frac{\pi}{4} + 2x \right ) - 1 \right ] = 0$.
Среди корней уравнений $\cos x = 0$ и $\cos \left ( \frac{ \pi}{4} - x \right ) = 0$ не может быть таких, при которых $\sin x \sin \left ( \frac{ \pi}{4} - x \right ) = 0$. Остается проверить корни уравнения $\sin \left ( \frac{ \pi}{4} + 2x \right ) = 1$. Преобразуем вначале условие, которому они должны удовлетворять: $\sin x \sin \left ( \frac{ \pi}{4} - x \right ) \neq 0$, или $\cos \left ( \frac{ \pi}{4} - 2x \right ) - \cos \frac{\pi}{4} \neq 0$, т.е. $\cos \left ( \frac{ \pi}{4} - 2x \right ) \neq \frac{1}{ \sqrt{2}}$, или $\sin \left ( \frac{\pi}{4} + 2x \right ) \neq \frac{1}{ \sqrt{2}}$. Теперь ясно, что в уравнение $\sin \left ( \frac{\pi}{4} + 2x \right ) = 1$ не попали посторонние корни.
Ответ. $\frac{ \pi}{2} + n \pi; - \frac{\pi}{4} + n \pi; \frac{ \pi}{8} + n \pi$.
