Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2470
2019-03-28 
Решить уравнение:
$\cos x = \cos^2 \frac{3}{4} x$.
Решение:
Понижением степени данное уравнение приводится к виду
$2 \ cos x = 1 + \cos \frac{3}{2} x$.
С помощью формул для косинуса двойного и тройного угла приходим к уравнению относительно $y = \cos \frac{x}{2}$:
$4y^3 - 4y^2 - 3y + 3 = 0$.
Левую часть легко разложить на множители:
$4y^2(y-1) - 3(y - 1) = 0$,
$(y-1)(4y^2-3) = 0$.
Если $\cos \frac{x}{2} = 1$, то $x_1 = 4 \pi n$. Если $4 \cos^2 \frac{x}{2} = 3$, то $\cos x = \frac{1}{2}$ и $x_2 = 2 \pi n \pm \frac{ \pi}{3}$.
Ответ. $4 \pi n; 2 \pi n \pm \frac{ \pi}{3}$.
Решить уравнение:
$\cos x = \cos^2 \frac{3}{4} x$.
Решение:
Понижением степени данное уравнение приводится к виду
$2 \ cos x = 1 + \cos \frac{3}{2} x$.
С помощью формул для косинуса двойного и тройного угла приходим к уравнению относительно $y = \cos \frac{x}{2}$:
$4y^3 - 4y^2 - 3y + 3 = 0$.
Левую часть легко разложить на множители:
$4y^2(y-1) - 3(y - 1) = 0$,
$(y-1)(4y^2-3) = 0$.
Если $\cos \frac{x}{2} = 1$, то $x_1 = 4 \pi n$. Если $4 \cos^2 \frac{x}{2} = 3$, то $\cos x = \frac{1}{2}$ и $x_2 = 2 \pi n \pm \frac{ \pi}{3}$.
Ответ. $4 \pi n; 2 \pi n \pm \frac{ \pi}{3}$.
