ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-28   
Решить уравнение:

$sec x^2 + cosec x^2 + sec x^2 cosec x^2 = 1$.


Решение:


Данное уравнение равносильно системе

$\begin{cases} \sin x^2 + \cos x^2 + 1 = \sin x^2 \cos x^2 \\ \sin x^2 \neq 0 \\ \cos x^2 \neq 0 \end{cases}$.

Пусть $\sin x^2 + \cos x^2 = y$. Возведем это соотношение в квадрат:

$1 + 2\sin x^2 \cos x^2 = y^2$,

откуда

$\sin x^2 \cos x^2 = \frac{y^2 - 1}{2}$.

После подстановки и простых преобразований уравнение примет вид

$y^2 - 2y - 3 = 0$,

откуда $y_1 = -1, y_2 = 3$. Второй корень посторонний, так как $\sin x^2 + \cos x^2$ всегда меньше двух.
Если

$\sin x^2 + \cos x^2 = -1$,

то

$\cos \left (x^2 - \frac{\pi}{4} \right ) = - \frac{1}{ \sqrt{2}}$

и

$x^2 = 2n \pi \pm \frac{ 3 \pi}{4} + \frac{ \pi}{4}$.

Взяв знак плюс, получим $x^2 = \pi (2n+1)$. Этот корень посторонний, так как $\sin x^2 \neq 0$.

Для знака минус получим, что $x^2 = - \frac{ \pi}{2} + 2n \pi$. Это тоже посторонний корень, так как $\cos x^2 \neq 0$.
Ответ. Нет решений.