Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2466
2019-03-28 
Решить уравнение:
$ctg 2x + 3 tg 3x = 2 tg x + \frac {2}{\sin 4x}$.
Решение:
При замене $\frac{1}{ \sin 4x}$ на $\frac {1 + tg^2 2x}{2 tg 2x}$ можно ожидать потери корней, при которых $tg 2x$ не существует, или, что то же самое, $\cos 2x = 0$. Однако при $\cos 2x = 0$ обращается в нуль и $\sin 4x$, т. е. потери корней не произойдет.
Так как в левую часть уравнения
$ctg 2x + 3 tg 3x = 2 tg x + (1+ tg^2 2x) \frac{1}{tg 2x}$
входит $ctg 2x$, то, заменив $\frac{1}{tg 2x}$ на $ctg 2x$ и раскрыв скобки, мы уничтожим в правой и левой частях $ctg 2x$. Замена $\frac{1}{tg 2x} = ctg 2x$ грозит лишь приобретением корней, при которых $tg 2x$ не существует, т. е. безопасна, так как $tg 2x$ остается в уравнении. Когда происходит уничтожение одинаковых слагаемых $ctg 2x$, то нужно добавить к уравнению
$3 tg 3x = 2 tg x = tg 2 x$,
условие
$ctg 2x$ существует.
Мы воспользовались попутно неабсолютным тождеством $tg 2x ctg 2x = 1$, которое не приводит к приобретению посторонних корней, так как $tg 2x$ и $ctg 2x$ остались в системе.
Преобразуем уравнение следующим образом:
$2 (tg 3x - tg x) + tg 3x - tg 2x = 0$,
т.е.
$\frac {2 \sin 2x}{\cos 3x \cos x} + \frac {\sin x}{\cos 3x \cos 2x} = 0$.
Теперь систему можно переписать так:
$\begin{cases} 2 \sin 2x \cos 2x + \sin x \cos x = 0 \\ \sin 2x \neq 0 \\ \cos 3x \neq 0 \\ \cos 2x \neq 0 \\ \cos x \neq 0 \end{cases}$.
Так как $\sin 2x \neq 0$, то на него можно сократить. Получим уравнение
$\cos 2x = - \frac{1}{4}$,
откуда $x = \pm \frac{1}{2} arccos \left ( - \frac{1}{4} \right ) + k \pi$. Поскольку при этих $х$ все ограничения выполняются, найденные значения $x$ являются решениями данного уравнения.
Ответ. $\pm \frac{1}{2} arccos \left ( - \frac{1}{4} \right ) + k \pi$.
Решить уравнение:
$ctg 2x + 3 tg 3x = 2 tg x + \frac {2}{\sin 4x}$.
Решение:
При замене $\frac{1}{ \sin 4x}$ на $\frac {1 + tg^2 2x}{2 tg 2x}$ можно ожидать потери корней, при которых $tg 2x$ не существует, или, что то же самое, $\cos 2x = 0$. Однако при $\cos 2x = 0$ обращается в нуль и $\sin 4x$, т. е. потери корней не произойдет.
Так как в левую часть уравнения
$ctg 2x + 3 tg 3x = 2 tg x + (1+ tg^2 2x) \frac{1}{tg 2x}$
входит $ctg 2x$, то, заменив $\frac{1}{tg 2x}$ на $ctg 2x$ и раскрыв скобки, мы уничтожим в правой и левой частях $ctg 2x$. Замена $\frac{1}{tg 2x} = ctg 2x$ грозит лишь приобретением корней, при которых $tg 2x$ не существует, т. е. безопасна, так как $tg 2x$ остается в уравнении. Когда происходит уничтожение одинаковых слагаемых $ctg 2x$, то нужно добавить к уравнению
$3 tg 3x = 2 tg x = tg 2 x$,
условие
$ctg 2x$ существует.
Мы воспользовались попутно неабсолютным тождеством $tg 2x ctg 2x = 1$, которое не приводит к приобретению посторонних корней, так как $tg 2x$ и $ctg 2x$ остались в системе.
Преобразуем уравнение следующим образом:
$2 (tg 3x - tg x) + tg 3x - tg 2x = 0$,
т.е.
$\frac {2 \sin 2x}{\cos 3x \cos x} + \frac {\sin x}{\cos 3x \cos 2x} = 0$.
Теперь систему можно переписать так:
$\begin{cases} 2 \sin 2x \cos 2x + \sin x \cos x = 0 \\ \sin 2x \neq 0 \\ \cos 3x \neq 0 \\ \cos 2x \neq 0 \\ \cos x \neq 0 \end{cases}$.
Так как $\sin 2x \neq 0$, то на него можно сократить. Получим уравнение
$\cos 2x = - \frac{1}{4}$,
откуда $x = \pm \frac{1}{2} arccos \left ( - \frac{1}{4} \right ) + k \pi$. Поскольку при этих $х$ все ограничения выполняются, найденные значения $x$ являются решениями данного уравнения.
Ответ. $\pm \frac{1}{2} arccos \left ( - \frac{1}{4} \right ) + k \pi$.
