ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-28   
Решить уравнение:

$(tg x + \sin x)^{ \frac{1}{2}} + (tg x - \sin x)^{ \frac{1}{2}} = 2 tg^ { \frac{1}{2}} x \cos x$.


Решение:


Поскольку $tg x + \sin x = tg x (1+ \cos x) = 2 tg x \cos^2 (x/2)$, а $tg x - \sin x = 2 tg x \sin^2 (x/2)$, данное уравнение можно записать в виде

$\sqrt{2} tg^{ \frac{1}{2}} x \left ( \left | \cos \frac{x}{2} \right | + \left | \sin \frac{x}{2} \right | - \sqrt{2} \cos x \right ) = 0$.

Первые решения получим при $tg x = 0$; $x = k \pi$. Остальные решения нам доставят корни уравнения

$\left | \cos \frac{x}{2} \right | + \left | \sin \frac{x}{2} \right | = \sqrt{2} \cos x$,

при которых $tg x> 0$ (случай $tg x = 0$ уже исследован). Решим вначале последнее уравнение, а затем исключим те решения, которые не удовлетворяют неравенству $tg x > 0$. Возведем это уравнение в квадрат и, чтобы не нарушить равносильности, добавим ограничение $\cos x \geq 0$. Получим систему

$\begin{cases} 1 + |\sin x| = 2 \cos^2 x \\ \cos x \geq 0 \end{cases}$.

Так как $2 \cos^2 х = 2 - 2 sin^2 х = 2 - 2 |\sin x|^2$ то придем к уравнению

$2 |\sin x|^2 + |\sin x| - 1 = 0$.

Решая его, найдем

$|\sin x| = \frac{-1 \pm 3}{4}$.

Так как $|\sin x| \geq 0$, то остается решить уравнение

$|\sin x| = \frac{1}{2}$, т.е. $\sin x = \pm \frac{1}{2}$,

корнями которого будут

$x = k \pi \pm \frac{ \pi}{6}$.

Если $k = 2n$, то $\cos x = \cos \left (\pm \frac{\pi}{6} \right ) > 0$; если же $k = 2n+1$, то $\cos x = \cos \left (\pi \pm \frac{ \pi}{6} \right ) < 0$. Остается вспомнить, что $tg x > 0$.
Ответ. $k \pi, \frac{\pi}{6} + 2k \pi$.