ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-28   
Решить уравнение:

$\sqrt {17 sec^2 x} = 2 tg x (1 + 4 \sin x)$.


Решение:


Преобразуем подкоренное выражение следующим образом:

$sec^2 x (17 + 8 \sin x - 16 \cos^2 x) = sec^2 x (1 + 8 \sin x - 16 \cos^2 x) = sec^2 x ( 1+ 8 \sin x + 16 \sin^2 x) = sec^2 x (1 + 4 \sin x)^2$.

Данное уравнение принимает вид

$\frac {|1+4\sin x|}{|\cos x|} = 2 tg x (1+4 \sin x)$.

Если $1+4 \sin x = 0$, то $x - n \pi + (-1)^{n+1} arcsin \frac{1}{4}$. Это - корни нашего уравнения, так как $\cos x \neq 0$ и $tg x$ существует.

Если $1+4 \sin x \neq 0$, то придется рассмотреть два случая, зависящих от знака этого выражения.

Пусть $1+4 \sin x > 0$, т.е. $\sin x > - \frac{1}{4}$. Тогда мы придем к уравнению

$\frac {1}{|\cos x|} = 2 tg x$, или $2 tg x |\cos x| = 1$,

которое равносильно совокупности систем

$\begin{cases} \sin x = \frac{1}{2} \\ \cos x > 0 \end{cases}$; $\begin{cases} \sin x = - \frac{1}{2} \\ \cos x < 0 \end{cases}$.

Вторая система не имеет решений при $\sin x > - \frac{1}{4}$. Решение первой: $x = \frac{ \pi}{6} + 2n \pi$.

Пусть, наконец, $1 + 4 \sin x < 0$, т.е. $\sin x < - \frac{1}{4}$. Уравнение

$2 tg x |\cos x| = - 1$,

к которому мы приходим в этом случае, равносильно такой совокупности систем:

$\begin{cases} \sin x = - \frac{1}{2} \\ \cos x > 0 \end{cases}$;
$\begin{cases} \sin x = \frac{1}{2} \\ \cos x < 0 \end{cases}$.

Вторая система не имеет решений при $\sin x < - \frac{1}{4}$, а первая дает нам $x = - \frac{ \pi}{6} + 2n \pi$.
Ответ. $n \pi + (-1)^{n+1} \arcsin \frac{1}{4}$; $\pm \frac{\pi}{6} + 2n \pi$.