ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-28   
Найти решения уравнения

$|\cos 2x| = |\sin^2 x - \alpha|$ ($a$ - действительное число), удовлетворяющие неравенству $0 \leq x \leq 2 \pi$.


Решение:


Уравнение равносильно совокупности двух уравнений

$\cos 2x = \frac{1-2a}{3}$, $\cos 2x = a - \sin^2 x$.

Понизим степень в правой части каждого уравнения и найдем

$\cos 2x = \frac{1-2a}{3}, \cos 2x = 2a - 1$.

Первое уравнение имеет решение, если

$-1 \leq \frac{1-2a}{3} \leq 1$, т.е. $-1 \leq a \ \leq 2$.

Второе уравнение имеет решение, если $-1 \leq 2a - 1 \leq 1$, т.е. $0 \leq a \leq 1$. Данное в условии уравнение при $-1 \leq a \leq 2$ имеет решения

$x = \pi n \pm \frac{1}{2} arccos \frac{1-2a}{3}$,

а при $0 \leq a \leq 1$ решения

$x = \pi n \pm \frac{1}{2} arccos (2a - 1)$.

Так как

$0 \leq \frac{1}{2} arccos \frac{1-2a}{3} \leq \frac{\pi}{2}$ и $0 \leq \frac{1}{2} arccos {(2a-1)} \leq \frac{ \pi}{2}$,

то легко найти решения нашего уравнения, которые попадут в интервал $0 \leq x \leq 2\pi$.
Ответ. $\frac{1}{2} arccos \frac{1 - 2a}{3}; \pi \pm \frac{1}{2} arccos \frac{1-2a}{3}; 2 \pi - \frac{1}{2} arccos \frac{1-2a}{3}$ (существуют при $-1 \leq a \leq 2$;
$\frac{1}{2} arccos (2a-1), \pi \pm \frac{1}{2} arccos(2a-1)$; $2\pi - \frac{1}{2} arccos (2a-1)$ (существуют при $0 \leq a \leq 1$).