Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2462
2019-03-28 
Решить уравнение
$\sin (x - \alpha) = \sin x - \sin \alpha$.
Решение:
Перенеся $\sin \alpha$ в левую часть, запишем уравнение в виде
$2 \sin \frac{x}{2} \cos {x-2 \alpha}{2} = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$,
или
$\sin \frac{x}{2} \left ( \cos {x-2 \alpha}{2} - \cos \frac{x}{2} \right ) = 0$.
Если $\sin \frac{x}{2} = 0$, то $x = 2n \pi$ при любом $\alpha$. Если $\cos { x - 2 \alpha}{2} = \cos \frac{x}{2}$, то либо
$\frac{x - 2\alpha}{2} + \frac{x}{2} = 2n \pi$,
откуда $x = 2n \pi + \alpha$, либо
$\frac{x - 2\alpha}{2} - \frac{x}{2} = 2n \pi$,
откуда $\alpha = 2 n \pi$.
Ответ. При любом $\alpha$: $2n \pi$; $2n \pi + \alpha$; при $\alpha = 2n \pi$ $x$ - любое.
Решить уравнение
$\sin (x - \alpha) = \sin x - \sin \alpha$.
Решение:
Перенеся $\sin \alpha$ в левую часть, запишем уравнение в виде
$2 \sin \frac{x}{2} \cos {x-2 \alpha}{2} = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$,
или
$\sin \frac{x}{2} \left ( \cos {x-2 \alpha}{2} - \cos \frac{x}{2} \right ) = 0$.
Если $\sin \frac{x}{2} = 0$, то $x = 2n \pi$ при любом $\alpha$. Если $\cos { x - 2 \alpha}{2} = \cos \frac{x}{2}$, то либо
$\frac{x - 2\alpha}{2} + \frac{x}{2} = 2n \pi$,
откуда $x = 2n \pi + \alpha$, либо
$\frac{x - 2\alpha}{2} - \frac{x}{2} = 2n \pi$,
откуда $\alpha = 2 n \pi$.
Ответ. При любом $\alpha$: $2n \pi$; $2n \pi + \alpha$; при $\alpha = 2n \pi$ $x$ - любое.
