ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-28   
Найти решения уравнения

$\frac {\sqrt {1- \cos x} + \sqrt {1 + \cos x}}{\cos x} = 4 \sin x$,

лежащие в интервале $(0, 2\pi)$.


Решение:


Уравнение можно переписать так:

$\frac {\sqrt{2} \left | \sin \frac{x}{2} \right | + \sqrt{2} \left |\cos \frac{x}{2} \right |}{\cos x} = 4 \sin x$.

Поскольку $0 < x < 2\pi$, то $0 < \frac{ x}{2} < \pi$ и $\sin \frac{x}{2} > 0$. Однако $\cos \frac{x}{2}$ в этом интервале меняет знак. и нам придется разбить интервал на два: $0 < x \leq \pi$ и $\pi < x < 2\pi$.

Если $0 < x \leq \pi$, получим уравнение

$\frac{ \sqrt{2}}{2} \sin \frac{x}{2} + \frac{ \sqrt{2}}{2} \cos \frac{x}{2} = \sin 2x$,

у которого может появиться лишь один посторонний корень при $\cos x = 0$.
Перепишем последнее уравнение так:

$\sin \left ( \frac{x}{2} + \frac{ \pi}{4} \right ) = \sin 2x$,

и найдем его корни из интервала $0 < x , \pi$: $x_1 = \frac{ \pi}{6}$, $x_2 = \frac{ 3\pi}{10}$. Если $\pi < x < 2\pi$, придем к уравнению

$\frac{ \sqrt{2}}{2} \sin \frac{x}{2} - \frac{ \sqrt{2}}{2} \cos \frac{x}{2} = \sin 2x$

или

$\sin \left ( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right ) = \sin 2x$,

которое даст нам еще два корня: $x_3 = \frac{7 \pi}{6}, x_4 = \frac{13}{10} \pi$. Очевидно, что для полученных углов $\cos x \neq 0$.
Ответ. $\frac{ \pi}{6}; \frac{ 3\pi}{10}; \frac{ 7 \pi}{6}; \frac{13 \pi}{10}$.