ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-28   
Решить уравнение:

$4 tg 4x - 4 tg 3x - tg 2x = tg 2x tg 3x tg 4x$.


Решение:


Перепишем уравнение следующим образом:

$4 (tg 4x - tg 3x) = tg 2x (1+ tg 3x tg 4x)$.

Приведем выражения в скобках к виду, удобному для логарифмирования:

$\frac {4 \sin x}{\cos 4x \cos 3x} = tg 2x \frac {\cos x}{\cos 4x \cos 3x}$.

Уравнение равносильно системе

$\begin{cases} 4 \sin x = \cos x tg 2x \\ \cos 3x \neq 0 \\ \cos 4x \neq 0 \end{cases}$

Так как $\cos x = 0$ не удовлетворяет уравнению, то его можно переписать так:

$4 tg x = tg 2x$,

или

$2 tg x = \frac {tg x}{1 - tg^2 x}$.

Мы воспользовались неабсолютным тождеством, которое исключает из области определения те значения $x$, при которых $tg x$; не существует. Однако $tg x$ входил в предыдущее уравнение, а потому существует, и потеря корней произойти не может. Из последнего уравнения, если $tg x = 0$, получаем $x = n \pi$.

Если $tg x \neq 0$, то $2 - 2 tg^2 x = 1$, $tg x = \pm \frac{ 1}{ \sqrt{2}}$. Так как $\cos 3x$ и $\cos 4x$ не обращаются при этом в нуль, то можно написать ответ.
Ответ. $n \pi; n\pi \pm arctg \frac{1}{ \sqrt{2}}$.