ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-28   
Решить уравнение:

$\sin^3 x + \cos^3 x + \frac{ 1}{ \sqrt {2}} \sin 2x \sin \left (x + \frac{ \pi}{4} \right ) = \cos x + \sin 3x$.


Решение:


Преобразуем уравнение следующим образом:

$(\sin x + \cos x)(1- \sin x \cos x) + \frac{ 1}{ \sqrt{2}} \sin 2x \sin \left (x + \frac{ \pi}{4} \right ) = \sin \left ( \frac{\pi}{2} - x \right ) + \sin 3x$.

Так как $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin \left ( \frac{\pi}{4} + x \right )$, то придем к уравнению

$\sin \left ( \frac{ \pi}{4} + x \right ) = \sqrt{2} \sin \left ( \frac{\pi}{4} + x \right ) \cos \left ( \frac{\pi}{4} - 2x \right )$.

Если $\sin \left ( \frac{\pi}{4} + x \right ) = 0$, то $x_1 = \frac{ \pi}{4} (4n - 1)$. Остается

$\sqrt{2} \cos \left ( \frac{\pi}{4} - 2x \right ) = 1$,

откуда

$x_2 = n \pi, x_3 = \frac{ \pi}{4} (4n + 1)$.

Серии чисел $x_1 = \frac{ \pi}{4} (4n-1)$ и $x_3 = \frac{ \pi}{4} (4n + 1)$ можно объединить: $x_1 = \frac{ \pi}{4} (2n + 1)$.
Ответ. $\frac{ \pi}{4} (2n+1); n \pi$.