Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2458
2019-03-28 
Решить уравнение:
$2 tg 3x - 3 tg 2x = tg^2 2x tg 3x$.
Решение:
Прибавив к обеим частям уравнения $tg 3x$, получим
$3 (tg 3x - tg 2x) = tg Зx (1 + tg^2 2x)$,
или
$\frac {3 \sin x}{\cos 3x \cos 2x} = \frac {\sin 3x}{\cos 3x \cos^2 2x}$.
Последнее уравнение эквивалентно системе
$\begin{cases} 3 \sin x \cos 2x - \sin 3x = 0 \\ \cos 3x \neq 0 \\ \cos 2x \neq 0 \end{cases}$.
Решим первое уравнение. Для этого представим произведение $\sin x \cos 2x$ в виде разности синусов. После приведения подобных членов получим
$\sin 3x = 3 \sin x$.
Воспользовавшись формулой синуса тройного угла, придем к уравнению
$\sin x (3 - 4 sin^2 x) = 3 \sin x$,
или
$sin^3 x = 0$,
откуда $x = \pi k$.
Легко проверить, что при $x = \pi k$ ни $\cos 2x$, ни $\cos 3x$ в нуль не обращаются.
Ответ. $\pi k$.
Решить уравнение:
$2 tg 3x - 3 tg 2x = tg^2 2x tg 3x$.
Решение:
Прибавив к обеим частям уравнения $tg 3x$, получим
$3 (tg 3x - tg 2x) = tg Зx (1 + tg^2 2x)$,
или
$\frac {3 \sin x}{\cos 3x \cos 2x} = \frac {\sin 3x}{\cos 3x \cos^2 2x}$.
Последнее уравнение эквивалентно системе
$\begin{cases} 3 \sin x \cos 2x - \sin 3x = 0 \\ \cos 3x \neq 0 \\ \cos 2x \neq 0 \end{cases}$.
Решим первое уравнение. Для этого представим произведение $\sin x \cos 2x$ в виде разности синусов. После приведения подобных членов получим
$\sin 3x = 3 \sin x$.
Воспользовавшись формулой синуса тройного угла, придем к уравнению
$\sin x (3 - 4 sin^2 x) = 3 \sin x$,
или
$sin^3 x = 0$,
откуда $x = \pi k$.
Легко проверить, что при $x = \pi k$ ни $\cos 2x$, ни $\cos 3x$ в нуль не обращаются.
Ответ. $\pi k$.
