ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-28   
Решить уравнение:

$tg 2x tg 7x = 1$.


Решение:


Данное уравнение эквивалентно системе

$\begin{cases} \sin 2x \sin 7x = \cos 2x \cos 7x \\ \cos 2x \cos 7x \neq 0 \end{cases}$.

Преобразуя левую и правую части уравнения в сумму тригонометрических функций, мы получим уравнение

$\cos 9x = 0$,

откуда $x = \pi/18 (2n+1)$.
Из найденных значений $x$ нужно выбрать те, при которых

$\cos 2x \cos 7x \neq 0$,

т. е. $\cos 5x + \cos 9x \neq 0$.

Так как речь идет о значениях неизвестного, при которых $\cos 9x = 0$, то остается потребовать, чтобы

$\cos 5x \neq 0$,

т. е. $5 \cdot \frac{ \pi}{18} (2n + 1) \neq \frac{ \pi}{2} (2k +1)$, откуда $\frac{ 5(2n+1)}{9} \neq 2k + 1$. Число $\frac{ 5(2n+1)}{9}$ не может быть четным, так как в его числителе лишь нечетные множители.

Oно будет целым, когда $\frac{2n+1}{9} = 2m + 1$, т. е. при $n = 9m + 4$.

Следовательно, корнями уравнения являются числа $x = \frac{\pi}{18} (2n+1)$ при $n \neq 9m + 4$.
Ответ. $\frac{ \pi}{18} (18 m \pm 1); \frac{ \pi}{18} (18m \pm 3); \frac{ \pi}{18} (18m \pm 5); \frac{ \pi}{18} (18m \pm 7)$.