Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2455
2019-03-28 
Решить уравнение:
$tg^2 x = \frac {1 - \cos^3 x}{1 - \sin^3 x}$.
Решение:
Поскольку
$tg^2 x = \frac {\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac {1- \cos^2 x}{1 - \sin^2 x}$,
мы приходим к уравнению
$\frac {1- \cos^2 x}{1 - \sin^2 x} = \frac {1- \cos^3 x}{1 - \sin^3 x}$.
Левая и правая части этого уравнения содержат общий множитель $\frac {1- \cos x}{1 - \sin x}$. Поэтому уравнение можно записать в виде
$\frac {1- \cos x}{1 - \sin x} \left ( \frac {1 + \cos x}{1 + \sin x} - \frac {1 + \cos x + \cos^2 x}{1 + \sin x + \sin^2 x} \right ) = 0$.
Первые корни получаем из уравнения $\cos x = 1$, откуда $x = 2 k \pi$.
Остальные корни найдем, приведя к общему знаменателю дроби, стоящие в скобке, и выполнив вычитание. Получим уравнение
$\frac {\sin^2 x + \cos x \sin^3 x - \cos^2 x - \sin x \cos^2 x}{(1- \sin^2 x)(1 + \sin x + \sin^2 x)} = 0$.
Числитель легко разложить на множители, если сгруппировать однородные члены:
$(\sin^2 x - \cos^2 x) + \sin x \cos x (\sin x - \cos x) = (\sin x - \cos x)(\sin x + \sin x \cos x + \cos x)$.
Знаменатель можно отбросить, так как при $\cos x = 0$ ни одна из скобок в разложении числителя не обращается в нуль. Заботиться о том, чтобы $1 + \sin x + \sin^2 x$ не обращалось в нуль, не нужно, так как это выражение всегда положительно.
Если $\sin x - \cos x = 0$, то $tg x = 1$, откуда $x = \frac{ \pi}{4} + k \pi$.
Остается решить уравнение
$\sin x + \sin x \cos x + \cos x = 0$.
Мы знаем, что $(\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2 \sin x \cos x$. Отсюда
$\sin x \cos x = \frac {(\sin x + \cos x)^2 - 1}{2}$.
Сделав такую замену в оставшемся уравнении, получим квадратное уравнение относительно
$y^2 + 2y - 1 = 0$.
Корни этого уравнения
$y_{1,2} = -1 \pm \sqrt{2}$.
Записав $\sin x = \cos x$ в виде $\sqrt{2} \cos \left ( x - \frac{ \pi}{4} \right )$, мы убедимся, что корень $y_1 = -1 - \sqrt{2}$ является посторонним. Остается
$\cos \left ( x - \frac{ \pi}{4} \right ) = 1 - \frac{1}{ \sqrt{2}}$,
откуда
$x = 2k \pi \pm arccos \left (1 - \frac{1}{ \sqrt{2}} \right ) + \frac{ \pi}{4}$.
Ответ. $2k \pi; \frac{ \pi}{4} + k \pi; 2 k \pi \pm arccos \left ( 1 - \frac{1}{ \sqrt{2}} \right ) + \frac{ \pi}{4}$.
Решить уравнение:
$tg^2 x = \frac {1 - \cos^3 x}{1 - \sin^3 x}$.
Решение:
Поскольку
$tg^2 x = \frac {\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac {1- \cos^2 x}{1 - \sin^2 x}$,
мы приходим к уравнению
$\frac {1- \cos^2 x}{1 - \sin^2 x} = \frac {1- \cos^3 x}{1 - \sin^3 x}$.
Левая и правая части этого уравнения содержат общий множитель $\frac {1- \cos x}{1 - \sin x}$. Поэтому уравнение можно записать в виде
$\frac {1- \cos x}{1 - \sin x} \left ( \frac {1 + \cos x}{1 + \sin x} - \frac {1 + \cos x + \cos^2 x}{1 + \sin x + \sin^2 x} \right ) = 0$.
Первые корни получаем из уравнения $\cos x = 1$, откуда $x = 2 k \pi$.
Остальные корни найдем, приведя к общему знаменателю дроби, стоящие в скобке, и выполнив вычитание. Получим уравнение
$\frac {\sin^2 x + \cos x \sin^3 x - \cos^2 x - \sin x \cos^2 x}{(1- \sin^2 x)(1 + \sin x + \sin^2 x)} = 0$.
Числитель легко разложить на множители, если сгруппировать однородные члены:
$(\sin^2 x - \cos^2 x) + \sin x \cos x (\sin x - \cos x) = (\sin x - \cos x)(\sin x + \sin x \cos x + \cos x)$.
Знаменатель можно отбросить, так как при $\cos x = 0$ ни одна из скобок в разложении числителя не обращается в нуль. Заботиться о том, чтобы $1 + \sin x + \sin^2 x$ не обращалось в нуль, не нужно, так как это выражение всегда положительно.
Если $\sin x - \cos x = 0$, то $tg x = 1$, откуда $x = \frac{ \pi}{4} + k \pi$.
Остается решить уравнение
$\sin x + \sin x \cos x + \cos x = 0$.
Мы знаем, что $(\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2 \sin x \cos x$. Отсюда
$\sin x \cos x = \frac {(\sin x + \cos x)^2 - 1}{2}$.
Сделав такую замену в оставшемся уравнении, получим квадратное уравнение относительно
$y^2 + 2y - 1 = 0$.
Корни этого уравнения
$y_{1,2} = -1 \pm \sqrt{2}$.
Записав $\sin x = \cos x$ в виде $\sqrt{2} \cos \left ( x - \frac{ \pi}{4} \right )$, мы убедимся, что корень $y_1 = -1 - \sqrt{2}$ является посторонним. Остается
$\cos \left ( x - \frac{ \pi}{4} \right ) = 1 - \frac{1}{ \sqrt{2}}$,
откуда
$x = 2k \pi \pm arccos \left (1 - \frac{1}{ \sqrt{2}} \right ) + \frac{ \pi}{4}$.
Ответ. $2k \pi; \frac{ \pi}{4} + k \pi; 2 k \pi \pm arccos \left ( 1 - \frac{1}{ \sqrt{2}} \right ) + \frac{ \pi}{4}$.
