ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-28   
Решить уравнение:

$tg^2 x = \frac {1- \cos x}{1 - \sin x}$.


Решение:


Данное уравнение можно преобразовать так:

$\frac {\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac {1 - \cos x}{1 - \sin x}$, $\frac {1 - \cos^2 x}{1 - \sin^2 x} = \frac {1 - \cos x}{1 - \sin x}$,

или

$\frac {1 - \cos x}{1 - \sin x} \left ( \frac {1 + \cos x}{1 + \sin x} - 1 \right ) = 0$.

Последнее уравнение равносильно системе

$\begin{cases} (1 - \cos x)(\cos x - \sin x) = 0 \\ \sin^2 x \neq 1 \end{cases}$.

Решая уравнение этой системы, найдем

$\cos x = 1$, откуда $x = 2k \pi$, $\cos x = \sin x$, $tg x = 1$, откуда $x = \frac{ \pi}{4} + k \pi$.

Так как при $x = 2k\pi$ и $x = \frac{ \pi}{4} + k \pi$ условие $\sin^2 x \neq 1$ выполняется, то найденные значения $x$ являются корнями данного уравнения.
Ответ. $x = 2k \pi$; $x = \frac{ \pi}{4} + k \pi$.