ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-28   
Решить уравнение:

$1 + \sin 2x + 2 \sqrt {2} \cos 3x \sin \left (x+ \frac{\pi}{4} \right ) = 2 \sin x + 2 \cos 3x + \cos 2x$.


Решение:


Так как $\sqrt {2} \sin \left (x + \frac{ \pi}{4} \right ) = \sin x + \cos x$, то

$1+ \sin 2x + 2 \cos 3x \sin x + 2 \cos 3x \cos x = 2 \sin x + 2 \cos 3x + \cos 2x$.

Объединим одночлены, содержащие $\cos 3x$ и все оставшиеся одночлены:

$2 \cos 3x (\sin x + \cos x - 1) + 2 \sin x + \cos x - 1) = 0$. Получим уравнение $(\sin x + \cos x - 1)(\cos 3x + \sin x) = 0$.

Получим уравнение

$(\sin x + \cos x - 1)(\cos 3x + \sin x) = 0$.

Если $\sin x + \cos x = 1$, т.е. $\cos \left (x - \frac{ \pi}{4} \right ) = \frac{1}{ \sqrt {2}}$, то

$x = 2n \pi \pm \frac{ \pi}{4} + \frac{ \pi}{4}$.

Если $\cos 3x + \sin x = 0$, т.е. $\cos 3x = \cos \left ( \frac{\pi}{2} + x \right )$, то

$x = \frac{ n\pi}{2} - \frac{ \pi}{8}$ и $x = n \pi + \frac{ \pi}{4}$.
Ответ. $2n\pi; 2n\pi + \frac{ \pi}{2}; \frac{ n\pi}{2} - \frac{\pi}{8}; n\pi + \frac{ \pi}{4}$.