Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2452
2019-03-28 
Сумма трех положительных чисел $\alpha, \beta$ и $\gamma$ равна $\frac{\pi}{2}$. Вычислить произведение $ctg \alpha ctg \gamma$, если известно, что $ctg \alpha, ctg \beta$ и $ctg \gamma$ образуют арифметическую прогрессию.
Решение:
Так как
$ctg \alpha + ctg \gamma = 2 ctg \beta$ и $ \beta = \frac{ \pi}{2} - (\alpha + \gamma)$,
то
$ctg \alpha + ctg \gamma = 2 tg (\alpha + \gamma)$,
или
$ctg \alpha + ctg \gamma = 2 \frac {ctg \alpha + ctg \gamma}{ctg \alpha ctg \gamma - 1}$.
Углы $\alpha$ и $\gamma$ острые. Поэтому $ctg \alpha > 0$ и $ctg \gamma > 0$ и на их сумму сожно сократить:
$1 = \frac {2}{ctg \alpha ctg \gamma - 1}$,
откуда легко найти произведение котангенсов.
Ответ. 3.
Сумма трех положительных чисел $\alpha, \beta$ и $\gamma$ равна $\frac{\pi}{2}$. Вычислить произведение $ctg \alpha ctg \gamma$, если известно, что $ctg \alpha, ctg \beta$ и $ctg \gamma$ образуют арифметическую прогрессию.
Решение:
Так как
$ctg \alpha + ctg \gamma = 2 ctg \beta$ и $ \beta = \frac{ \pi}{2} - (\alpha + \gamma)$,
то
$ctg \alpha + ctg \gamma = 2 tg (\alpha + \gamma)$,
или
$ctg \alpha + ctg \gamma = 2 \frac {ctg \alpha + ctg \gamma}{ctg \alpha ctg \gamma - 1}$.
Углы $\alpha$ и $\gamma$ острые. Поэтому $ctg \alpha > 0$ и $ctg \gamma > 0$ и на их сумму сожно сократить:
$1 = \frac {2}{ctg \alpha ctg \gamma - 1}$,
откуда легко найти произведение котангенсов.
Ответ. 3.
