Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2451
2019-03-28 
Углы $\alpha, \beta, \gamma$ образуют арифметическую прогрессию с разностью $\frac{ \pi}{3}$. Вычислить $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma$.
Решение:
$A = \frac {\sin \alpha \sin \left ( \alpha + \frac{\pi}{3} \right )}{\cos \alpha \cos \left ( \alpha + \frac{ \pi}{3} \right )} + \frac {\sin \left ( \alpha + \frac{ \pi}{3} \right ) \sin \left ( \alpha + \frac{2\pi}{3} \right )}{\cos \left ( \alpha + \frac{ \pi}{3} \right ) \cos \left (\alpha + \frac{2\pi}{3} \right )} + \frac {\sin \alpha \sin \left ( \alpha + \frac{2\pi}{3} \right )}{\cos \alpha \cos \left ( \alpha + \frac{ 2\pi}{3} \right )} = \frac {\sin \alpha \sin \left (\alpha + \frac{\pi}{3} \right ) \cos \left ( \alpha + \frac{2\pi}{3} \right )}{\cos \alpha \cos \left ( \alpha + \frac{ \pi}{3} \right ) \cos \left ( \alpha + \frac{ 2\pi}{3} \right )} + \frac {\sin \left ( \alpha + \frac{ \pi}{3} \right ) \sin \left (\alpha + \frac{ 2\pi}{3} \right ) \cos \alpha}{\cos \alpha \cos \left (\alpha + \frac{ \pi}{3} \right ) \cos \left (\alpha + \frac{ 2\pi}{3} \right )} + \frac {\sin \alpha \sin \left (\alpha + \frac{ 2\pi}{3} \right ) \cos \left ( \alpha + \frac{ \pi}{3} \right )}{\cos \alpha \cos \left (\alpha + \frac{\pi}{3} \right ) \cos \left (\alpha + \frac{ 2\pi}{3} \right )} = \frac {\sin \alpha \left [- \sin \frac{ \pi}{3} + \sin (\pi + 2\alpha) \right ] + \cos \alpha \left [ \cos \frac{ \pi}{3} - \cos \frac{ \pi}{3} - \cos (\pi + 2\alpha) \right ]}{\cos \alpha \left [\cos \frac{ \pi}{3} + \cos (\pi + 2 \alpha) \right ]} + \frac {\sin \alpha \left [\sin \frac{ \pi}{3} + \sin (\pi + 2 \alpha) \right ]}{\cos \alpha \left [\cos \frac{ \pi}{3} + \cos (\pi + 2 \alpha) \right ]} = \frac {- \sin \alpha \sin 2\alpha + \frac{1}{2} \cos \alpha + (\cos \alpha \cdot \cos 2 \alpha - \sin \alpha \cdot \sin 2 \alpha)}{ \frac{1}{2} \cos \alpha - \cos \alpha \cos 2 \alpha} = \frac {- \frac{1}{2} (\cos \alpha - \cos 3 \alpha) + \frac{1}{2} \cos \alpha + \cos 3\alpha}{ \frac{1}{2} \cos \alpha - \frac{1}{2} (\cos \alpha + \cos 3 \alpha)} = \frac { \frac{3}{2} \cos 3 \alpha}{- \frac{1}{2} \cos 3\alpha} = -3$.
При преобразованиях мы пользовались формулами преобразования тригонометрических функций в сумму.
Ответ. - 3.
Углы $\alpha, \beta, \gamma$ образуют арифметическую прогрессию с разностью $\frac{ \pi}{3}$. Вычислить $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma$.
Решение:
$A = \frac {\sin \alpha \sin \left ( \alpha + \frac{\pi}{3} \right )}{\cos \alpha \cos \left ( \alpha + \frac{ \pi}{3} \right )} + \frac {\sin \left ( \alpha + \frac{ \pi}{3} \right ) \sin \left ( \alpha + \frac{2\pi}{3} \right )}{\cos \left ( \alpha + \frac{ \pi}{3} \right ) \cos \left (\alpha + \frac{2\pi}{3} \right )} + \frac {\sin \alpha \sin \left ( \alpha + \frac{2\pi}{3} \right )}{\cos \alpha \cos \left ( \alpha + \frac{ 2\pi}{3} \right )} = \frac {\sin \alpha \sin \left (\alpha + \frac{\pi}{3} \right ) \cos \left ( \alpha + \frac{2\pi}{3} \right )}{\cos \alpha \cos \left ( \alpha + \frac{ \pi}{3} \right ) \cos \left ( \alpha + \frac{ 2\pi}{3} \right )} + \frac {\sin \left ( \alpha + \frac{ \pi}{3} \right ) \sin \left (\alpha + \frac{ 2\pi}{3} \right ) \cos \alpha}{\cos \alpha \cos \left (\alpha + \frac{ \pi}{3} \right ) \cos \left (\alpha + \frac{ 2\pi}{3} \right )} + \frac {\sin \alpha \sin \left (\alpha + \frac{ 2\pi}{3} \right ) \cos \left ( \alpha + \frac{ \pi}{3} \right )}{\cos \alpha \cos \left (\alpha + \frac{\pi}{3} \right ) \cos \left (\alpha + \frac{ 2\pi}{3} \right )} = \frac {\sin \alpha \left [- \sin \frac{ \pi}{3} + \sin (\pi + 2\alpha) \right ] + \cos \alpha \left [ \cos \frac{ \pi}{3} - \cos \frac{ \pi}{3} - \cos (\pi + 2\alpha) \right ]}{\cos \alpha \left [\cos \frac{ \pi}{3} + \cos (\pi + 2 \alpha) \right ]} + \frac {\sin \alpha \left [\sin \frac{ \pi}{3} + \sin (\pi + 2 \alpha) \right ]}{\cos \alpha \left [\cos \frac{ \pi}{3} + \cos (\pi + 2 \alpha) \right ]} = \frac {- \sin \alpha \sin 2\alpha + \frac{1}{2} \cos \alpha + (\cos \alpha \cdot \cos 2 \alpha - \sin \alpha \cdot \sin 2 \alpha)}{ \frac{1}{2} \cos \alpha - \cos \alpha \cos 2 \alpha} = \frac {- \frac{1}{2} (\cos \alpha - \cos 3 \alpha) + \frac{1}{2} \cos \alpha + \cos 3\alpha}{ \frac{1}{2} \cos \alpha - \frac{1}{2} (\cos \alpha + \cos 3 \alpha)} = \frac { \frac{3}{2} \cos 3 \alpha}{- \frac{1}{2} \cos 3\alpha} = -3$.
При преобразованиях мы пользовались формулами преобразования тригонометрических функций в сумму.
Ответ. - 3.
