Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2450
2019-03-28 
Дано $2 tg^2 \alpha tg^2 \beta tg^2 \gamma + tg^2 \alpha tg^2 \beta + tg^2 \beta tg^2 \gamma + tg^2 \gamma tg^2 \alpha = 1$. Bычислить $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma$.
Решение:
Обозначим $\sin^2 \alpha = a, \sin^2 \beta = b, \sin^2 \gamma = c$. Тогда данное в условии соотношение примет вид
$\frac {2abc}{(1-a)(1-b)(1-c)} + \frac {ab}{(1-a)(1-b)} + \frac {bc}{(1-b)(1-c)} + \frac {ac}{(1-a)(1-c)} = 1$,
т.е.
$2abc + ab (1-c) + bc (1-a) + ac (1-b) - (1-a)(1-b)(1-c) = 0$.
После того как будут раскрыты скобки и приведены подобные члены, получим
$-1 + c + b + a = 0$,
что в первоначальных обозначениях соответствует равенству
$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = 1$.
Дано $2 tg^2 \alpha tg^2 \beta tg^2 \gamma + tg^2 \alpha tg^2 \beta + tg^2 \beta tg^2 \gamma + tg^2 \gamma tg^2 \alpha = 1$. Bычислить $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma$.
Решение:
Обозначим $\sin^2 \alpha = a, \sin^2 \beta = b, \sin^2 \gamma = c$. Тогда данное в условии соотношение примет вид
$\frac {2abc}{(1-a)(1-b)(1-c)} + \frac {ab}{(1-a)(1-b)} + \frac {bc}{(1-b)(1-c)} + \frac {ac}{(1-a)(1-c)} = 1$,
т.е.
$2abc + ab (1-c) + bc (1-a) + ac (1-b) - (1-a)(1-b)(1-c) = 0$.
После того как будут раскрыты скобки и приведены подобные члены, получим
$-1 + c + b + a = 0$,
что в первоначальных обозначениях соответствует равенству
$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = 1$.
