Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 245
2014-06-07 
Доказать, что любые два диаметра выпуклого множества на плоскости имеют хотя бы одну общую точку.
Решение:
Рис.1
Рис.2
Предположим противное. Пусть два непересекающихся отрезка являются диаметрами выпуклого множества. Возможны два случая: 1) никакой из отрезков не пересекается с продолжением другого; 2) один из отрезков пересекается с продолжением другого. В первом случае рассмотрим выпуклый четырехугольник ABCD, стороны АВ и CD которого являются диаметрами (рис. 1). Так как хоти бы один из его углов, например угол D, не меньше $90^{\circ}$, то имеем AC > CD, т. е. СО - не диаметр. Во втором случае рассмотрим точку О пересечения диаметра АВ с продолжением диаметра CD за точку D (рис. 2). Так как хотя бы один из углов АОС или ВОС, скажем первый, не меньше $90^{\circ}$, то имеем АС > ОС > CD, т. е. CD - не диаметр. Итак, в обоих случаях получено противоречие.
Доказать, что любые два диаметра выпуклого множества на плоскости имеют хотя бы одну общую точку.
Решение:
Рис.1
Рис.2
Предположим противное. Пусть два непересекающихся отрезка являются диаметрами выпуклого множества. Возможны два случая: 1) никакой из отрезков не пересекается с продолжением другого; 2) один из отрезков пересекается с продолжением другого. В первом случае рассмотрим выпуклый четырехугольник ABCD, стороны АВ и CD которого являются диаметрами (рис. 1). Так как хоти бы один из его углов, например угол D, не меньше $90^{\circ}$, то имеем AC > CD, т. е. СО - не диаметр. Во втором случае рассмотрим точку О пересечения диаметра АВ с продолжением диаметра CD за точку D (рис. 2). Так как хотя бы один из углов АОС или ВОС, скажем первый, не меньше $90^{\circ}$, то имеем АС > ОС > CD, т. е. CD - не диаметр. Итак, в обоих случаях получено противоречие.
