ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-28   
Доказать, что если

$\sin \alpha + \sin \beta = a$, $\cos \alpha + \cos \beta = b$, то $tg \frac{ \alpha}{2} + tg \frac{ \beta}{2} = \frac {4a}{a^2 + b^2 + 2b}$


Решение:


Вычислим $a^2 + b^2$:

$a^2 + b^2 = 2 + 2 (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) = 2 + 2 \cos (\alpha - \beta) = 4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Теперь преобразуем правую часть равенства, которое нужно доказать:

$\frac {4a}{a^2 + b^2 +2b} = \frac {4 (\sin \alpha + \sin \beta)}{4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2} + 2 (\cos \alpha + \cos \beta)} = \frac {2 \sin \frac{ \alpha + \beta}{2} \cos \frac{ \alpha - \beta}{2}}{\cos \frac{\alpha - \beta}{2} \left ( \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \right )} = \frac {\sin \frac{\alpha + \beta}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2}} = \frac { \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{ \beta}{2} + \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{ \alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2}} = tg \frac{ \alpha}{2} + tg \frac{ \beta}{2}$,

что и требовалось доказать.