Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2448
2019-03-28 
Доказать, что если
$| \sin x | = | k \sin y |$,
где $-1 \leq k \leq 1$, то произведение $\sin (x+y) \sin (x - y)$ неположительно.
Решение:
Доказательство представляет собой цепочку преобразований
$\sin (x+y) \sin (x-y) = \sin^2 x \cos^2 y - \cos^2 x \sin^2 y = k^2 \sin^2 y \cos^2 y - \cos^2 x \sin^2 y = \sin^2 y (k^2 \cos^2 y - \cos^2 y)$.
Так как $\cos^2 x = 1 - k^2 \sin^2 y$, то выражение в скобках равно $k^2 - 1$. По условию $-1 \leq k \leq 1$, т. е. $k^2 - 1 \leq 0$, и, следовательно,
$\sin (x +y) \sin (x - у) \leq 0$.
Доказать, что если
$| \sin x | = | k \sin y |$,
где $-1 \leq k \leq 1$, то произведение $\sin (x+y) \sin (x - y)$ неположительно.
Решение:
Доказательство представляет собой цепочку преобразований
$\sin (x+y) \sin (x-y) = \sin^2 x \cos^2 y - \cos^2 x \sin^2 y = k^2 \sin^2 y \cos^2 y - \cos^2 x \sin^2 y = \sin^2 y (k^2 \cos^2 y - \cos^2 y)$.
Так как $\cos^2 x = 1 - k^2 \sin^2 y$, то выражение в скобках равно $k^2 - 1$. По условию $-1 \leq k \leq 1$, т. е. $k^2 - 1 \leq 0$, и, следовательно,
$\sin (x +y) \sin (x - у) \leq 0$.
