Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2447
2019-03-28 
Доказать, что если
$\frac {\sin (x - \alpha)}{\sin (x - \beta)} = \frac{a}{b}$ и $\frac {\cos (x - \alpha)}{\cos (x - \beta)} = \frac{A}{B}$, то $\cos (\alpha - \beta) = \frac {aA + bB}{aB + bA}$.
Решение:
Преобразуем правую часть равенства, которое нужно доказать:
$\frac {aA + bB}{aB + bA} = \frac { \frac{a}{b} \cdot \frac{A}{B} + 1}{ \frac{a}{b} + \frac{A}{B}}$
и воспользуемся условием. Получим
$\frac {aA + bB}{aB + bA} = \frac {\frac {\sin (x - \alpha)}{\sin (x - \beta)} \cdot \frac {\cos (x - \alpha)}{\cos (x - \beta)} + 1}{ \frac{ \sin (x - \alpha)}{\sin (x - \beta)} + \frac {\cos (x - \alpha)}{\cos (x - \beta)}} = \frac {\sin (x - \alpha) \cos (x - \alpha) + \sin (x - \beta) \cos (x - \beta)}{\sin (x - \alpha) \cos (x - \beta) + \sin (x - \beta) \cos (x - \alpha)} = \frac { \frac{1}{2} [ \sin 2 (x - \alpha) + \sin 2 (x - \beta)]}{\sin (2x - \alpha - \beta)} = \frac {\sin (2x - \alpha - \beta) \cos (\alpha - \beta)}{\sin (2x - \alpha - \beta)} = \cos (\alpha - \beta)$.
Доказать, что если
$\frac {\sin (x - \alpha)}{\sin (x - \beta)} = \frac{a}{b}$ и $\frac {\cos (x - \alpha)}{\cos (x - \beta)} = \frac{A}{B}$, то $\cos (\alpha - \beta) = \frac {aA + bB}{aB + bA}$.
Решение:
Преобразуем правую часть равенства, которое нужно доказать:
$\frac {aA + bB}{aB + bA} = \frac { \frac{a}{b} \cdot \frac{A}{B} + 1}{ \frac{a}{b} + \frac{A}{B}}$
и воспользуемся условием. Получим
$\frac {aA + bB}{aB + bA} = \frac {\frac {\sin (x - \alpha)}{\sin (x - \beta)} \cdot \frac {\cos (x - \alpha)}{\cos (x - \beta)} + 1}{ \frac{ \sin (x - \alpha)}{\sin (x - \beta)} + \frac {\cos (x - \alpha)}{\cos (x - \beta)}} = \frac {\sin (x - \alpha) \cos (x - \alpha) + \sin (x - \beta) \cos (x - \beta)}{\sin (x - \alpha) \cos (x - \beta) + \sin (x - \beta) \cos (x - \alpha)} = \frac { \frac{1}{2} [ \sin 2 (x - \alpha) + \sin 2 (x - \beta)]}{\sin (2x - \alpha - \beta)} = \frac {\sin (2x - \alpha - \beta) \cos (\alpha - \beta)}{\sin (2x - \alpha - \beta)} = \cos (\alpha - \beta)$.
