Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2446
2019-03-28 
Bычислить без таблиц
$tg \frac{ \pi}{7} tg \frac{ 2 \pi}{7} tg \frac{ 3 \pi}{7}$.
Решение:
Вычислим вначале произведение косинусов:
$\cos \frac{ \pi}{7} \cos \frac{ 2 \pi}{7} \cos \frac{3 \pi}{7} = \frac{1}{ 2 \sin \frac{\pi}{7}} \cdot 2 \sin \frac{ \pi}{7} \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{ 2\pi}{7} \cos \frac{ 3 \pi}{7} = \frac{1}{4 \sin \frac{\pi}{7}} \cdot 2 \sin \frac{2\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{3\pi}{7} = \frac{1}{ 8 \sin \frac{\pi}{7}} \cdot \sin \frac{4 \pi}{7} \cos \frac{ 3\pi}{7} = \frac{1}{ 8 \sin \frac{\pi}{7}} \cdot 2 \sin \frac{3\pi}{7} \cos \frac{3\pi}{7} = \frac{1}{8}$.
Теперь вычислим произведение квадратов синусов, умноженное на 8:
$8 \sin^2 \frac{ \pi}{7} \sin^2 \frac{ 2 \pi}{7} \sin^2 \frac{3\pi}{7} = \left ( 1 - \cos \frac{ 2\pi}{7} \right ) \left ( 1 - \cos \frac{4 \pi}{7} \right ) \left ( 1 - \cos \frac{6 \pi}{7} \right )$.
Раскроем скобки и преобразуем каждое произведение двух косинусов в сумму косинусов. После приведения подобных получим
$8 \sin^2 \frac{ \pi}{7} \sin^2 \frac{2 \pi}{7} \sin^2 \frac{ 3 \pi}{7} = 1 - \cos \frac{ 2 \pi}{7} \cos \frac{3 \pi}{7} \cos \frac{\pi}{7} = \frac{7}{8}$.
Теперь можно найти произведение тангенсов.
Ответ. $\sqrt {7}$.
Bычислить без таблиц
$tg \frac{ \pi}{7} tg \frac{ 2 \pi}{7} tg \frac{ 3 \pi}{7}$.
Решение:
Вычислим вначале произведение косинусов:
$\cos \frac{ \pi}{7} \cos \frac{ 2 \pi}{7} \cos \frac{3 \pi}{7} = \frac{1}{ 2 \sin \frac{\pi}{7}} \cdot 2 \sin \frac{ \pi}{7} \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{ 2\pi}{7} \cos \frac{ 3 \pi}{7} = \frac{1}{4 \sin \frac{\pi}{7}} \cdot 2 \sin \frac{2\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{3\pi}{7} = \frac{1}{ 8 \sin \frac{\pi}{7}} \cdot \sin \frac{4 \pi}{7} \cos \frac{ 3\pi}{7} = \frac{1}{ 8 \sin \frac{\pi}{7}} \cdot 2 \sin \frac{3\pi}{7} \cos \frac{3\pi}{7} = \frac{1}{8}$.
Теперь вычислим произведение квадратов синусов, умноженное на 8:
$8 \sin^2 \frac{ \pi}{7} \sin^2 \frac{ 2 \pi}{7} \sin^2 \frac{3\pi}{7} = \left ( 1 - \cos \frac{ 2\pi}{7} \right ) \left ( 1 - \cos \frac{4 \pi}{7} \right ) \left ( 1 - \cos \frac{6 \pi}{7} \right )$.
Раскроем скобки и преобразуем каждое произведение двух косинусов в сумму косинусов. После приведения подобных получим
$8 \sin^2 \frac{ \pi}{7} \sin^2 \frac{2 \pi}{7} \sin^2 \frac{ 3 \pi}{7} = 1 - \cos \frac{ 2 \pi}{7} \cos \frac{3 \pi}{7} \cos \frac{\pi}{7} = \frac{7}{8}$.
Теперь можно найти произведение тангенсов.
Ответ. $\sqrt {7}$.
