Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2444
2019-03-28 
Доказать, что
$tg (\alpha + \beta) = 2 tg \alpha$,
если $\sin \alpha \cos (\alpha + \beta) = \sin \beta$ и $\alpha + \beta \neq \frac{\pi}{2} (2n + 1)$, $\alpha \neq \frac{ \pi}{2} (2n + 1)$.
Решение:
Перепишем равенство
$\sin \alpha \cos (\alpha + \beta) = \sin \beta$
в виде
$\sin \alpha \cos (\alpha + \beta) = \sin [(\alpha + \beta) - \alpha]$,
т.е.
$\sin \alpha \cos (\alpha + \beta) = \sin (\alpha + \beta) \cos \alpha - \sin \alpha \cos (\alpha + \beta)$,
или
$2\sin \alpha \cos (\alpha + \beta) = \sin (\alpha + \beta) \cos \alpha$.
Из условия следует, что $\cos (\alpha + \beta) \neq 0$ и $\cos \alpha \neq 0$. Разделим последнее равенство на $\cos (\alpha + \beta) \cos \alpha$. Получим
$2 tg \alpha = tg (\alpha + \beta)$.
Доказать, что
$tg (\alpha + \beta) = 2 tg \alpha$,
если $\sin \alpha \cos (\alpha + \beta) = \sin \beta$ и $\alpha + \beta \neq \frac{\pi}{2} (2n + 1)$, $\alpha \neq \frac{ \pi}{2} (2n + 1)$.
Решение:
Перепишем равенство
$\sin \alpha \cos (\alpha + \beta) = \sin \beta$
в виде
$\sin \alpha \cos (\alpha + \beta) = \sin [(\alpha + \beta) - \alpha]$,
т.е.
$\sin \alpha \cos (\alpha + \beta) = \sin (\alpha + \beta) \cos \alpha - \sin \alpha \cos (\alpha + \beta)$,
или
$2\sin \alpha \cos (\alpha + \beta) = \sin (\alpha + \beta) \cos \alpha$.
Из условия следует, что $\cos (\alpha + \beta) \neq 0$ и $\cos \alpha \neq 0$. Разделим последнее равенство на $\cos (\alpha + \beta) \cos \alpha$. Получим
$2 tg \alpha = tg (\alpha + \beta)$.
