Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2443
2019-03-28 
Доказать тождество
$\frac{1}{2} tg \frac{x}{2} + \frac{1}{2^2} tg \frac{x}{2^2} + \cdots + \frac{1}{2^n} tg \frac{x}{2^n} = \frac{1}{2^n} ctg \frac{x}{2^n} - ctg x$.
Решение:
Рассмотрим выражение
$ctg x + \frac{1}{2} tg \frac{x}{2} + \frac{1}{2^2} tg \frac{x}{2^2} + \cdots + \frac{1}{2^n} tg \frac{x}{2^n}$.
Так как $ctg x = \frac{1}{2} \left (ctg \frac{x}{2} - tg \frac{x}{2} \right )$, то
$ctg x + \frac{1}{2} tg \frac{x}{2} = \frac{1}{2} ctg \frac{x}{2}$.
Аналогичные преобразования можно продолжить и дальше:
$\frac{1}{2} ctg \frac{x}{2} + \frac{1}{2^2} tg \frac{x}{2^2} = \frac{1}{2^2} ctg \frac{x}{2^2}$,
$\cdots \cdots$
$\frac {1}{2^{n-1}} ctg \frac {x}{2^{n-1}} + \frac{1}{2^n} tg \frac{x}{2^n} = \frac{1}{2^n} ctg \frac{x}{2^n}$,
что и доказывает тождество.
Доказать тождество
$\frac{1}{2} tg \frac{x}{2} + \frac{1}{2^2} tg \frac{x}{2^2} + \cdots + \frac{1}{2^n} tg \frac{x}{2^n} = \frac{1}{2^n} ctg \frac{x}{2^n} - ctg x$.
Решение:
Рассмотрим выражение
$ctg x + \frac{1}{2} tg \frac{x}{2} + \frac{1}{2^2} tg \frac{x}{2^2} + \cdots + \frac{1}{2^n} tg \frac{x}{2^n}$.
Так как $ctg x = \frac{1}{2} \left (ctg \frac{x}{2} - tg \frac{x}{2} \right )$, то
$ctg x + \frac{1}{2} tg \frac{x}{2} = \frac{1}{2} ctg \frac{x}{2}$.
Аналогичные преобразования можно продолжить и дальше:
$\frac{1}{2} ctg \frac{x}{2} + \frac{1}{2^2} tg \frac{x}{2^2} = \frac{1}{2^2} ctg \frac{x}{2^2}$,
$\cdots \cdots$
$\frac {1}{2^{n-1}} ctg \frac {x}{2^{n-1}} + \frac{1}{2^n} tg \frac{x}{2^n} = \frac{1}{2^n} ctg \frac{x}{2^n}$,
что и доказывает тождество.
