Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2440
2019-03-28 
Решить систему уравнений:
$\begin{cases} 7 \cdot 3^{x+1} - 2 \cdot 3^{y+z-x+1} = 9 \\ 2 \cdot 3^{x+1} + 3^{y+z-x} = 27 \\ lg (x+y+z) - 3lg x = lg yz + lg 2 \end{cases}$.
Решение:
Пусть $3^{x+1} = u, 3^{y+z+x} = v$, тогда первые два уравнения примут вид
$\begin{cases} 7u - 6v = 9 \\ 2u + v = 27 \end{cases}$,
откуда $u = 9, v = 9$. Следовательно, $x = 1$, а $y+z - x = 2$, т. е. $у + z = 3$.
Последнее уравнение данной системы примет теперь простой вид
$lg yz = lg 2$,
следствием которого будет
$yz = 2$.
Решаем систему
$\begin{cases} y + z = 3 \\ yz = 2 \end{cases}$, откуда $\begin{cases} y_1 = 1 \\ z_1 = 2 \end{cases}$; $\begin{cases} y_2 = 2 \\ z_2 = 1 \end{cases}$.
Проверкой убеждаемся, что мы нашли решения исходной системы уравнений.
Ответ. (1, 1, 2); (1, 2, 1).
Решить систему уравнений:
$\begin{cases} 7 \cdot 3^{x+1} - 2 \cdot 3^{y+z-x+1} = 9 \\ 2 \cdot 3^{x+1} + 3^{y+z-x} = 27 \\ lg (x+y+z) - 3lg x = lg yz + lg 2 \end{cases}$.
Решение:
Пусть $3^{x+1} = u, 3^{y+z+x} = v$, тогда первые два уравнения примут вид
$\begin{cases} 7u - 6v = 9 \\ 2u + v = 27 \end{cases}$,
откуда $u = 9, v = 9$. Следовательно, $x = 1$, а $y+z - x = 2$, т. е. $у + z = 3$.
Последнее уравнение данной системы примет теперь простой вид
$lg yz = lg 2$,
следствием которого будет
$yz = 2$.
Решаем систему
$\begin{cases} y + z = 3 \\ yz = 2 \end{cases}$, откуда $\begin{cases} y_1 = 1 \\ z_1 = 2 \end{cases}$; $\begin{cases} y_2 = 2 \\ z_2 = 1 \end{cases}$.
Проверкой убеждаемся, что мы нашли решения исходной системы уравнений.
Ответ. (1, 1, 2); (1, 2, 1).
