Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2439
2019-03-28 
Решить систему уравнений:
$\begin{cases} log_a x + log_a^2 x = 1 \\ b^ log {\sqrt b}^{\sqrt {y}} + x^2 = 2a \end{cases}$.
Решение:
Так как $log_{a^2} x = \frac{1}{2} log_a x$ (обратите внимание на то, почему мы не пишем здесь $log_{|a|} x$), a $log_{\sqrt{b}} \sqrt {y} = log_b y$, то систему можно переписать следующим образом:
$\begin{cases} 2 log_a x + log_a x = 2 \\ y + x^2 = 2a \end{cases}$.
Это - следствие первоначальной системы; если же добавить условия $у > 0, b > 0, b \neq 1$, то получим равносильную систему. Из первого уравнения
$x = \sqrt [3]{a^2}$, где $a > 0, a \neq 1$.
Подставляем во второе и находим $y = 2a - \sqrt [3]{a^4}$.
Условие $2a > \sqrt [3]{a^4}$, т. е. $8a^3 > a^4$, приводит к дополнительному ограничению на $a$:
$a < 8$.
Ответ. При $0 < a < 1, 1 < a < 8$ и при $b > 0, b \neq 1, x = \sqrt [3]{a^2}, y = 2a - \sqrt [3]{a^4}$.
Решить систему уравнений:
$\begin{cases} log_a x + log_a^2 x = 1 \\ b^ log {\sqrt b}^{\sqrt {y}} + x^2 = 2a \end{cases}$.
Решение:
Так как $log_{a^2} x = \frac{1}{2} log_a x$ (обратите внимание на то, почему мы не пишем здесь $log_{|a|} x$), a $log_{\sqrt{b}} \sqrt {y} = log_b y$, то систему можно переписать следующим образом:
$\begin{cases} 2 log_a x + log_a x = 2 \\ y + x^2 = 2a \end{cases}$.
Это - следствие первоначальной системы; если же добавить условия $у > 0, b > 0, b \neq 1$, то получим равносильную систему. Из первого уравнения
$x = \sqrt [3]{a^2}$, где $a > 0, a \neq 1$.
Подставляем во второе и находим $y = 2a - \sqrt [3]{a^4}$.
Условие $2a > \sqrt [3]{a^4}$, т. е. $8a^3 > a^4$, приводит к дополнительному ограничению на $a$:
$a < 8$.
Ответ. При $0 < a < 1, 1 < a < 8$ и при $b > 0, b \neq 1, x = \sqrt [3]{a^2}, y = 2a - \sqrt [3]{a^4}$.
