ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-28   
Решить систему уравнений:

$\begin{cases} |log_2 (x+y)| + |log_2 (x-y)| = 3 \\ xy = 3 \end{cases}$.


Решение:


Так как $x$ и $у$ одного знака (это следует из второго уравнения) и $x + у > 0$ (из первого), то $x$ и $у$ положительны, причем либо $x$, либо $у$ обязательно больше 1 (так как $xy = 3$). Следовательно, $x + у > 1$ и данная система может быть переписана так:

$\begin{cases} log_2 (x+y) + |log_2 (x-y)| = 3 \\ xy = 3 \end{cases}$.

Если $0 < x-у < 1$, то получим систему

$\begin{cases} log_2 (x+y) - |log_2 (x-y)| = 3 \\ xy = 3 \end{cases}$,

следствием которой является система

$\begin{cases} \frac {x+y}{x-y} = 8\\ xy = 3 \end{cases}$.

Из первого уравнения получим $7x = 9y$. Подставляя сюда $у = \frac{3}{x}$, найдем $x^2 = \frac{27}{7}$, откуда

$x = 3 \sqrt { \frac{3}{7}} (x > 0), y = \sqrt { \frac{7}{3}}$.

Убеждаемся, что при этих значениях $x$ и $y$ неравенство $0 < x-y < 1$ выполняется.
Если $x - y > 1$, то получим систему

$\begin{cases} log_2 (x+y) + log_2 (x-y) = 3 \\ xy = 3 \end{cases}$,

следствием которой является система

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 8 \\ xy = 3 \end{cases}$.

Подставляя в первое уравнение $у = \frac{3}{x}$, получим уравнение

$x^4 - 8x^2 - 9 = 0$.

Так как $x^2 \neq -1$, то остается $х^2 = 9$, откуда $x = 3$, а $y = 1$, (Ограничение $x - y > 1$ удовлетворяется.)

Равносильность могла быть нарушена только при потенцировании; поэтому достаточно проверить, что $x - у > 0$, что уже сделано.
Ответ. $\left ( 3 \sqrt { \frac{3}{7}}, \sqrt { \frac{7}{3}} \right ); (3,1)$.