Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2436
2019-03-28 
Решить систему уравнений:
$\begin{cases} 20 x^{log_3 y} + 7 y^{log_3 x} = 871 \sqrt [3]{3} \\ xy = 9 \sqrt [3]{9} \end{cases}$.
Решение:
Из второго уравнения
$y = x^{-1} \cdot 3{ \frac{8}{3}}$.
Подставляя в первое:
$20x^{-log_3 x + \frac{8}{3}} + 7x^{-log_3 x} \cdot 3^{ \frac{8}{3} log_3 x} = 81 \sqrt [3]{3}$.
Так как
$3^{ \frac{8}{3} log_3 x} = (3^{log_3 x})^{ \frac{8}{3}} = x^{ \frac{8}{3}}$,
то получим уравнение
$20 x^{ \frac{8}{3} - log_3 x} + 7x^{ \frac{8}{3} - log_3 x} = 81 \sqrt [3]{3}$,
откуда $x^{ \frac{8}{3} - log_3 x} = 3^{ \frac{4}{3}}$.
Прологарифмируем по основанию 3:
$3 log_3^2 x - 8 log_3 x + 4 = 0$,
откуда $x_1 = 3^{ \frac{2}{3}}, x_2 = 9$.
Находим соответствующие $y$ и делаем проверку.
Ответ. $(\sqrt [3]{9}, 9), (9, \sqrt [3]{9})$.
Решить систему уравнений:
$\begin{cases} 20 x^{log_3 y} + 7 y^{log_3 x} = 871 \sqrt [3]{3} \\ xy = 9 \sqrt [3]{9} \end{cases}$.
Решение:
Из второго уравнения
$y = x^{-1} \cdot 3{ \frac{8}{3}}$.
Подставляя в первое:
$20x^{-log_3 x + \frac{8}{3}} + 7x^{-log_3 x} \cdot 3^{ \frac{8}{3} log_3 x} = 81 \sqrt [3]{3}$.
Так как
$3^{ \frac{8}{3} log_3 x} = (3^{log_3 x})^{ \frac{8}{3}} = x^{ \frac{8}{3}}$,
то получим уравнение
$20 x^{ \frac{8}{3} - log_3 x} + 7x^{ \frac{8}{3} - log_3 x} = 81 \sqrt [3]{3}$,
откуда $x^{ \frac{8}{3} - log_3 x} = 3^{ \frac{4}{3}}$.
Прологарифмируем по основанию 3:
$3 log_3^2 x - 8 log_3 x + 4 = 0$,
откуда $x_1 = 3^{ \frac{2}{3}}, x_2 = 9$.
Находим соответствующие $y$ и делаем проверку.
Ответ. $(\sqrt [3]{9}, 9), (9, \sqrt [3]{9})$.
